热门试卷

（1）证明：正方形ABCD，

∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，

∴CB⊥面ABEF，

∵AG，GB面ABEF，

∴CB⊥AG，CB⊥BG，

又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，

∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，

∴AG⊥BG，

∵CG∩BG=B，

∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC，

故平面AGC⊥平面BGC。

（2） 如图，由（1）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，

在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，

∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角，

 ∴在Rt△CBG中，，

又BG=，

∴。

解：（1）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，则△DAE≌△FBE，

∴BF=AD=1，∴CF=4，

∴ ，

又∵，

∴∠F=∠ACD，

∵∠ACD+∠ACF=90°，

∴∠F+∠ACF=90°，

∴∠CGF=90°，

∴AC⊥DE 

又∵PC⊥底面ABCD，

∴PC⊥DE， ∴DE⊥平面PAC，

∵DE 平面PDE， ∴平面PDE⊥平面PAC 

（2）连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，

又由（1）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，

根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，

∴∠CPG即为直线PC与平面PDE所成角

在Rt△DCA中，CG==

在Rt△PCG中，tan∠CPG==

∴sinα=，即直线PC与平面PDE所成角的正弦值为

（3）由于 ，B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的，即．

在Rt△PCG中，，

从而点B到平面PDE的距离等于 ．

（Ⅰ）证明：在正方体中，，

又由已知可得，

所以，

所以PH⊥平面PQEF，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．

（Ⅲ）解：设AD′交PF于点N，连结EN，

因为AD′⊥平面PQEF，

所以∠D′EN为D′E与平面PQEF所成的角，

因为，

所以P，Q，E，F分别为 AA′，BB′，BC，AD的中点，

可知，

所以。

(Ⅰ)证明：在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=2，

所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos45°=8，

因此AC=2，故BC2=AC2+AB2，

所以∠BAC=90°，

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，

所以CD⊥PA，CD⊥AC，

又PA、AC平面PAC，且PA∩AC=A，

所以CD⊥平面PAC，

又CD平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAC．

(Ⅱ)解：因为△PAB是等腰三角形，所以PA=AB=2，

因此，

又AB∥CD，

所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，

由于CD⊥平面PAC，

在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，所以PC=4，

故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离，

所以B到平面PCD的距离为h=2，

设直线PB与平面PCD所成的角为θ，

则，

又，

所以。

(Ⅲ)解：因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形，

因为AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，

所以∠BAE=135°，因此∠CAE=45°，

故，

，

所以，

又PA⊥平面ABCDE，

所以。

（1）解：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，

∴DD1⊥ABCD，

∴∠DCD1即为直线CD1与平面ABCD所成的角，

∴DD1⊥CD且DD1=CD，

∴∠DCD1=45°，即直线CD1与平面ABCD所成的角45°。

（2）证明：连结BD，在正方体中，对角线BD∥B1D1，

又E、F为棱AD、AB的中点，

∴EF∥BD，即EF∥B1D1，

又B1D1平面，平面，

∴EF∥平面。

（3）证明：在正方体中，AA1⊥平面，而B1D1平面，

∴AA1⊥B1D1，

又在正方形中，A1C1⊥B1D1，A1C1∩AA1=A1，

∴B1D1⊥平面CAA1C1，

又B1D1平面，

∴平面CAA1C1⊥平面。

解：（1）∵，

∴是等腰三角形，

又D是AB的中点，

∴，

又底面ABC

∴

于是平面VCD

又平面，

∴平面平面。

（2） 过点C在平面内作于H，

则由（1）知平面

连接，于是就是直线与平面所成的角

依题意，

所以在中，；

在中，，

∴

∵，

∴

故当时，直线BC与平面VAB所成的角为。

（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，tan∠DAC=，AD=10，

∴OA=8，OD=6                    …（1分）

翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，，…（3分）

在△AOC中，OA2+OC2=128=AC2，…（4分）

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，

∴AO⊥平面BCD，

又AO⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面CBD．                    …（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分）=(8，3，-4)，  =(8，-6，0)，=(8，0，-8)，…（8分）

设平面MCD的一个法向量为=(x，y，z)，则由，得，…（10分）

令y=4，有=(3，4，9)，…（11分）

设AC与平面MCD所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，…（13分）

∴AC与平面MCD所成角的余弦值为，…（14分）

解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为PA⊥平面ABCD，

则PA⊥CD，

又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，

则CD⊥AM，

所以AM⊥平面PCD

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，，

又，

则M是PD的中点可得，

则

设D到平面ACM的距离为h，

由，即，

可求得，

设所求角为θ，则，

。

（3）可求得PC=6

因为AN⊥NC，

由，得PN。

所以。

故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。

又因为M是PD的中点，

则P、D到平面ACM的距离相等，

由（2）可知所求距离为。

（1）证明∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC平面PDB，

∴平面.

（2）设AC∩BD=O，连接OE，      

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，      

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，      

∴O，E分别为DB、PB的中点，      

∴OE//PD，，

又∵，      

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，      

在Rt△AOE中，，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.