热门试卷

(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC⊥平面PDB。

(Ⅱ)解：设AC∩BD=D，连结OE，

由(I)知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

∵O，E分别为DB，PB的中点，

∴OE∥PD，OE=PD，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角为45°。

(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方彤，

∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC⊥面PDB。

(Ⅱ)解：设AC∩BD=O，连接OE，由(Ⅰ)知，AC⊥平面PDB于点D，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

∵点O，E分别为DB，PB的中点， 

∴OE∥PD，OE=PD，

又PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，

∴∠AEO=45°，

即AE与平面PDB所成的角为45°。

(I)证明：由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，

可得l2⊥平面ABN，

由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，

可知AN=NB且AN⊥NB，

又AN为AC在平面ABN内的射影，

∴AC⊥NB．

(Ⅱ)解：∵Rt△CNA≌Rt△CNB，

∴AC=BC，

又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形，

∵Rt△ANB≌Rt△CNB，

∴NC=NA=NB，

因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，

连结BH，∠NBH即为NB与平面ABC所成的角，

在Rt△NHB中，，

∴NB与平面ABC所成角的余弦值为。

解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，

以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且

与平面垂直的直线为Ox轴，

建立空间直角坐标系，

由已知，

得，

。

（2）坐标系如图，取的中点M，

于是有，

连，有，

且，

由于，

所以，，

∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面所成的角，

，

∴，

而，

，

∴，

所以，AC1与AM所成的角，

即AC1与侧面所成的角为30°。

解：（1）∵

∴是等腰三角形

又D是AB的中点

∴

又VC⊥底面ABC

∴

于是平面

又平面

∴平面平面。

（2）过点C在平面内作于H，

则由（1）知平面

连接，于是就是直线与平面所成的角

依题意

所以在中，

在中，

∴

∵

∴

故当时，直线与平面所成的角为。

解：（1）∵，

∴是等腰三角形，

又D是AB的中点，

∴，

又底面

∴

于是平面

又平面，

∴平面平面。

（2） 过点C在平面内作于H，

则由（1）知平面

连接，于是就是直线与平面所成的角

依题意，

所以，在中，；

在中，，

∴

∵，

∴

故当时，直线BC与平面VAB所成的角为。

（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，

由已知△BAC为直角三角形，所以可得OA=OB=OC，

又知PA=PB=PC，则△POA≌△POB≌△POC，

∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，

∴PO⊥OB，PO⊥OA，OB∩OA=O，

所以PO⊥面BCD，

又PO面ABC，

∴面PBC⊥面ABC。

（2）解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，

如图建立坐标系O-xyz，

则

，

设面PAB的法向量为n1=(x，y，z)，

由n1· =0，n1·=0，可知n1=(1，-，1)；

同理可求得面PAC的法向量为n2=(3，，1)，

∴cos(n1，n2)=。

解：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设AB=1，则PA=AD=2，

又设|AE|=y，则：=（1，2，﹣2），

由=0，可得﹣1+2y=0，∴，

又∵，∴，∴λ=

（II）由（I）知面PAC的法向量为

又因为

设PB与面PAC所成的角为α，

则：

∵∴PB所求PB与面PAC所成的角的大小为：

解：（1）由题中条件可知=（-2，-1，3），=（1，-3，2），

∴以为邻边的平行四边形面积

（2）设a=（x，y，z），

由题意得

解得或

∴a=（1，1，1）或a=（-1，-1，-1）。