热门试卷

解：（Ⅰ）设AC与BD交于O，如图所示建立空间直角坐标系，

设AB=2，

则

设

则

∴

∴2-2h=0，∴h=1，即，

∴，

设平面EAC的法向量为，

则由，得，

令z=-1，

∴，

∴，

∴。

（Ⅱ）设

得

∴，

，

∴，

∴，

∴，

∴存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=2：3。

解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向

建立空间直角坐标系如图，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，

，，

(Ⅰ)，

因为，

所以CM⊥SN；

(Ⅱ)，

设=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，

则，

令x=2，得=（2，1，-2），

因为，

所以SN与平面CMN所成角为45°．

解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别

为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，

做BD的中点F并连接CF，AF，

由题意可得CF⊥BD且，

又∵平面BDA⊥平面BDC，

∴CF⊥平面BDA，

所以C的坐标为，

∴，

∴，

故DE⊥AC。

（Ⅱ）设平面BCE的法向量为，

则，

∴，

令x=1得，，

又，

设DE与平面BCE所成角为θ，

则；

（Ⅲ）假设存在点M使得CM∥面ADE，

则，，

∴，得，

又因为AE⊥平面ABD，AB⊥BD，

所以AB⊥平面ADE，

因为CM∥面ADE，

则，

得，

∴，

故点M为BE的中点时，CM∥面ADE。

解：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，

∴AC1⊥平面A1BC。

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

∵AC1⊥平面A1BC，

∴AC1⊥A1C，

∴四边形A1ACC1是菱形，

∵D是AC的中点，

∴∠A1AD=60°，

∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），

∴=（1，0，），=（-2，2，0），

设平面A1AB的法向量=（x，y，z），

∴，

令z=1，

∴=（，，1），

∵=（2，0，0），

∴，

∴C1到平面A1AB的距离是。

（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），

∴，

设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，

∴，

∴二面角A-A1B-C的余弦值为。

解：（1）∵EF⊥AB，

∴EF⊥PE

又∵PE⊥AE，EF∩AE=E，且PE在平面ACFE外，

∴PE⊥平面ACFE

∵EF⊥AB，CD⊥AB，

∴EF∥CD

∴

所以四边形ACFE的面积

∴四棱锥P-ACFE的体积

即；

（2）由（1）知

令V'（x）=0x=6

（3）如图，以点E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系

则E（0，0，0），P（0，0，6），，

于是

AC与PF所成角θ的余弦值为

∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为。

分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，

则A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）

所以M(a，a，)．

（Ⅰ）：=(a，a，-) ，=(-2a，2a，0)

•=a•(-2a)+a•2a+0=0．

∴⊥，即DM⊥EB．

（Ⅱ）设平面MBD的法向量为=(x，y，z)，=(0，2a，-2a)，

由⊥，⊥，得

⇒

取z=2得平面MBD的一非零法向量为=(1，2，2)，

又平面BDA的一个法向量=(1，0，0)．

∴cos＜，＞ ==，即cosβ=

解：（1）取BC中点G点，连接AG，FG，如图1

因为AE⊥面ABC，BD∥AE，

所以BD⊥面ABC．

又AG面ABC，

所以BD⊥AG．

又AC=AB，G是BC的中点，

所以AG⊥BC，

所以AG⊥平面BCD．

又因为F是CD的中点且BD=2，

所以FG∥BD且FG=1，

所以FG∥AE．

又AE=1，所以AE=FG，所以四边形AEFG是平行四边形，

所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD

（2）设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，

可得CH⊥AB且CH= ，

如图2 ，又BD∥AE，所以BD与AE共面．

又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．

所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C﹣ABDE的高．

故四棱锥C﹣ABDE的体积为

V C﹣ABDE=SABDECH=．

（3）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则C（），E（0，﹣，1），F（），

∴，

设平面CEF的法向量为，

由，，得

平面ABC的法向量为=（0，0，1）

∴cos==

∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

解：（Ⅰ）证明：在梯形中，

∵，，∠＝，

∴，  

∴，

∴，

∴⊥，  

∵平面⊥平面，

平面∩平面，

平面，

∴⊥平面。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线

为建立如图所示的空间直角坐标系，

令，

则，，

∴，

设为平面MAB的一个法向量，

由得，

取，则，

∵是平面FCB的一个法向量，

∴

，   

∵，    

∴当时，有最小值；

当时，有最大值；

∴。

（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，

则DF=AB，

∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，

∴四边形ABFD为正方形，

∵O为BD的中点，

∴O为AF，BD的交点，

∵PD=PB=2，PO⊥BD，

∵,

∴，

在三角形PAO中，，

∴PO⊥AO，

∵，

∴PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，

又AB⊥AD，

所以过O分别做AD，AB的平行线，

以它们作x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：，

，，

，

则，

，

∴，

∴，

∵，

∴OE∥平面PDC；

（Ⅲ）解：设平面PDC的法向量为，

直线CB与平面PDC所成角θ，

则，解得，

令，

则平面PDC的一个法向量为，

又，

则，

∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为。