热门试卷

解：依条件可知AB，AC，AA1两两垂直，如图，

以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，

根据条件容易求出如下各点坐标： A(0，0，0)，B(0，2，0)，

C(-1，0，0)，A1(0，0，2)，，

，

(Ⅰ)证明：∵是平面ACC1A1的一个法向量，

且，所以，

又∵平面ACC1A1，

∴MN∥平面ACC1A1。

(Ⅱ)设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，

因为，

由，得，

解得平面AMN的一个法向量为n=（4，2，-1），

由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1），

，

∴二面角M-AN-B的余弦值是。

（1）证明：，ED⊥面ABCD，

建立坐标系，

则，

，，

又面BFG，面BFG，

∴AC∥平面BGF。

（2）解：设点M的坐标为（x，0，0），

则，

设平面BGF的法向量为，则可求得=，

GM与平面BFG所成的角为θ，

则，

解得x=1，所以M是AD的中点。

（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，

，，

连结，交于点O，连结OD，

由是直三棱柱，

得四边形为矩形，

O为A1C的中点，

又D为BC中点，

所以OD为中位线，

所以∥OD，             

因为平面，平面，

所以∥平面。           

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，

且，

故两两垂直，

如图建立空间直角坐标系B-xyz ，      

∵BA=2，

则，

所以，，

设平面的法向量为，

则有所以，

取y=1，得，

易知平面ADC的法向量为，

由二面角是锐角，

得，

所以二面角的余弦值为。

（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E，

因为E 在线段上，，，

故可设，其中，

所以，，

因为与成60°角，

所以，即，

解得λ=1，舍去λ=3，

所以当点E为线段中点时，AE与DC1成60°角。

解：（1）∵点在底面上的射影落在上，

∴平面，平面，

∴，

又∵，

∴，，

∴平面。

（2）以为原点，为x轴，为轴，

过点且垂直于平面的直线为轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

显然，平面的法向量，

设平面的法向量为，

由，即，，

∴，

∴，   

∴二面角的大小是45°。  

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、

B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2 ）、F（0，2，1），

（1）取AD1中点G，则G（1，0，1），

=（1，-2，1），

又=（-1，2，-1），

由=，

∴与共线，

从而EF∥CG，

∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1。

（2）设面EFB的一个法向量，

由得，

故可取，

取底面ABCD的一个法向量，

由，

所成的锐二面角余弦值的大小为。

解：（1）由题意，得，

如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

由已知条件得

，

∴，

由，

得，

∴EM⊥BF。

（2）由（1）知，

设平面BEF的法向量为，

由，

令，

∴，

由已知EA⊥平面ABC，

所以取面ABC的法向量为，

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

则，

∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为。

解：(Ⅰ) 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，

OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴，

建立空间直角坐标系O-xyz，

则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，

C (2sinθ，2cosθ，0)，

设=(x，y，z)为平面COD的一个法向量，

由，得

取z=sinθ，则=(cosθ，-sinθ，sinθ)．

因为平面AOB的一个法向量为=(1，0，0)，

由平面COD⊥平面AOB，得·=0，

所以cosθ=0，即θ=．　　　　　　　　　

(Ⅱ) 设二面角C-OD-B的大小为α，

由(Ⅰ)得当θ=时，cosα=0；当θ∈(，]时，tanθ≤-，

cosα===-，

故≤cosα＜0，

综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[，0]．

（Ⅰ）证明：（方法一）取A′B中点D，连接ED，DC，

因为E，D分别为AB，A′B中点，

所以ED=AA′，ED∥AA′，

所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形，

所以EF∥CD，

又因为EF平面A′BC，CD平面A′BC′，

所以EF∥平面A′BC′。

证明：（方法二）取BC中点O，连接AO，OC′，

由题可得AO⊥BC，

又因为面ABC⊥面，

所以AO⊥面，

 ，

，所以，

可以建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BC=2，可得，，，

，，，

所以，

所以

，

则，

不妨取，则，

所以，

（Ⅱ）（方法一）解：过F点作AA′的垂线FM交AA′于M，

连接BM，BF，

因为BF⊥CC′，CC′∥AA′，

所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF，

因为面ABC⊥面BCC′B′，所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上，

所以，

所以，

不妨设BC=2，则，

同理可得，

所以，

（方法二）由（Ⅰ）方法二可得

，

设面的一个法向量为，

则，

不妨取，

则；

又，

则，

不妨取，

则，

所以，

。

解：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为z轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

由已知得D(O，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B，(2，2，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．

(1)证明：易知平面ACD1的一个法向量=(2，2，2)．

=（-1，2，-1），

= -2+4-2=0．

，

而EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1．

(2)∵=(0，2，0)，

∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为

(3)设点P(2，2，f)(0

则=（-2，2，0），=(0，2，t)，

取易知平面ABC的一个法向量=(0，0，2)，  

依题意知=30°或=150°．

即，

解得，

∴在棱B，上存在一点P，当BP的长为时，二面角P-AC-B的大小为30°．