热门试卷

证明：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB．

又AB=DE，∴GF=AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∴AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC，

则∠ENM为二面角D﹣BC﹣E的平面角

设AB=a，则AD=DE=2a，

所以BC=BD=a，AF=2a，CE=2a

由（I）BG∥AF，∴BG⊥CD

∵BG⊥DE，CD∩DE=D，

∴BG⊥面CDE

由VB﹣CDE=VE﹣BCD，

可得EM=在△BCE中，，

∴EN=

设二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，

则sinθ=

（1）证明：以C为坐标原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，则

A1（1，0，1），B1（0，1，1），C1（0，0，1），D（，，0），

=（﹣1，1，0），=（，，﹣1），

则=0．

所以⊥=0．

所以A1B1⊥C1D；  

（2）解：，

设=（x，y，z）为平面MDE的一个法向量．

则

即，

令y=，则x=0，z=1，

所以=（0，，1）

又=（0，0，1）为平面DEA的一个法向量，

所以cos＜，＞==

所以二面角M﹣DE﹣A的大小为．

解：（1）取的中点，连结，

因为为中点，

∴，且，

在梯形中，，

∴，

四边形为平行四边形，

∴平面，

平面，

∴平面。

（2）平面平面，

，

∴平面，

∴PD⊥AD，

在直角梯形ABCD中，

∴即，

又由平面，

可得，

又，

∴平面。

（3）如图，以D为原点建立空间直角坐标系

D-xyz，

则，

平面的法向量为

，

∴，

设平面的法向量为，

，

由，

∴，

∴，

注意，

∴。

解：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC，分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则。

（1） 由M为PB中点，，

∴，

∴

∴PA⊥DM，PA⊥DC，

∴PA⊥平面DMC；

（2），设平面BMC的法向量，

则由可得x+z=0，由可得，

取x=-1则，

所以可取，

由（1）知平面CDM的法向量可取，

∴，

又易知二面角D-MC-B为钝二面角，

∴二面角D-MC-B的余弦值为。

解：（1）取AC中点O，因为AB=BC，

所以OB⊥OC，

∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，

∴OB⊥平面PAC，

∴OB⊥OP，

以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为 x、y、z轴

建立如图

所示空间直角坐标系，

因为AB=BC=PA=，

所以OB=OC=OP=1，

从而O（0，0，0），B（1，0，0），

A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），

∴，

设平面PBC的法向量，

由得方程组，

取，

∴，

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。

（2）由题意平面PAC的法向量，

设平面PAM的法向量为，

∵，

又因为，

∴，

取，

，

∴，

∴n+1=3m或n+1=-3m（舍去），

∴B点到AM的最小值为垂直距离。

解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，

设AB=2a，BC=2b，PA=2c，

则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），

D（0，2b，0），P（0，0，2c），

∵E为AB的中点，F为PC的中点，

∴E（a，0，0），F（a，b，c），

（Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c），

=（0，2b，0），

∴，

∴与共面，

又∵平面PAD，

∴EF∥平面PAD。

（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），

∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0，

∴EF⊥CD；

（Ⅲ）若∠PDA=45°，则有2b=2c，即b=c，

∴=（0，b，b），=（0，0，2b），

∴，

∴=45°，

∵AP⊥平面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量，

∴EF与平面ABCD所成的角为

90°-=45°。

解：（Ⅰ）连接，，

因为，，

所以∥，

因为面，，

所以∥面。

（Ⅱ）作，

分别令为轴，轴，轴，

建立坐标系如图，

因为，，

所以，，

所以，，，， ，

设面的法向量为，

所以，，

化简得，

令，则，

设，

则，

设直线与面所成角为，

则，

所以，

则直线与面所成角的正弦值为 。

解：（1）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得

∴

∵

所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为。

（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面，

∵

可设

又

∴

由平面，得

即

故，

此时

经检验，当时，平面

故线段上存在点S，使得平面，

此时。

解：如图所示，设且|a|=|b|=|c|=1,

易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=

则a·b=b·c=c·a=

因为=

所以，

所以OE·BF=

-

所以

所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为