热门试卷

（1）取AB的中点O，连接OS，则有OS⊥AB

又∵平面SAB⊥平面ABC，

∴OS⊥平面ABC       …（2分）

∴以AB为x轴，OS为z轴，过O作AC的平行线为y轴，如图，建立空间直角坐标系O-xyz．

∵A（-1，0，0），B（1，0，0），C（-1，1，0），

S（0，0，），

∴=(2，0，0)，=(-1，1，-)，

∴cos＜，＞===-…（5分）

又异面直线AB与SC所成角大于0，小于等于，故异面直线AB与SC所成的角的余弦值为…（6分）

（2）依题意可设D（a，0，0），其中a∈[-1，1]，

∴=(a+1，-1，0)

设平面SAC的法向量为=(x，y，z)，

∵=(-1，0，-)，=(0，1，0)

∴，取=(，0，-1)…（8分）

设CD与平面SAC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==

∴(a+1)=…（10分）

两边同平方，化简得a2+2a-1=0

∴a=-1-(舍去)或者a=-1

所以满足条件的点D的坐标为(-1，0，0)…（12分）

（1）分别取AB，AC的中点F，H，连接PH，HF，HE，EF

由于E、F分别是BC、AB的中点，故EF是△ABC的中位线，则有EF∥AC，

故∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角

在△PEF中，PE=PF=，EF=

故cos∠PEF=

（2）由于PA=PC，H是AC的中点，

有PH⊥AC

又由面PAC⊥面ABC

面PAC∩面ABC=AC

有PH⊥面ABC

故∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角

在△PBH中，PH=，PH=

∴tan∠PBH==

故sin∠PBH=

（3）∵VP-ABC=VC-PAB=S△ABC•PH=•×1×1×=

又由三角形PAB的面积S△PAB=

∴点C到平面PAB的距离h==

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，

连结OG，因为 PC∥平面，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

 故OG∥PC，所以，OG=PC=，

 又AO⊥BD，AO⊥BB1，

所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角。

在Rt△AOG中，tan∠AGO=，

即m=，

所以当m=时，直线AP与平面所成的角的正切值为。

（2）可以推测，点Q应当是A1C1的中点O1，

因为 D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A ，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP平面ACC1A1，

故 D1O1⊥AP，

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。

解：（1）（i）因为， 平面ADD1A1，

所以平面ADD1A1，

又因为平面平面ADD1A1=，

所以

所以。

（ii）∵，

所以，

又因为，

所以，

在矩形中，F是AA1的中点，即

即，

故

所以平面。

（2） 设与交点为H，连结

由（1）知B1C1∥EF，所以是与平面所成的角

在矩形中，，，得，

在直角中，，，

得，所以BC与平面所成角的正弦值是。

（Ⅰ）证明：因为平面G1AB⊥平面ABCD，

平面G1AB∩平面ABCD=AB，

AD⊥AB，AD平面ABCD，

所以AD⊥平面G1AB，

又AD平面G1ADG2，

所以平面G1AB⊥平面G1ADG2。

（Ⅱ）解：过点B作BH⊥AG1于点H，连结G2H，

由（Ⅰ）的结论可知，BH⊥平面G1ADG2，

所以∠BG1H是BG2和平面G1ADG2所成的角，

因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB，

G1E=AB，G1E平面G1AB，

所以G1E⊥平面ABCD，

故G1E⊥EF，

因为G1G2＜AD，AD=EF，

所以可在EF上取一点O，使EO=G1G2，

又因为G1G2∥AD∥EO，

所以四边形G1EOG2是矩形，

由题设AB=12，BC=25，EG=8，则GF=17，

所以G2O=G1E=8，G2F=17，

OF=，

因为AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD，

所以G1G2⊥平面G1AB，

从而G1G2⊥G1B，

故BG=BE2+EG+G1G=62+82+102=200，

BG2=，

又AG1=，

由，

故，

即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是。

（1）过P作PH⊥BC于足H，连DH，

∵面BC′⊥面AC，则PH⊥面ABCD，

∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP．

在正方形BCC′B′，M，N分别为BB′，B′C′中点，P为MN中点，

又B′C′=1，则PH=，BH=，CH=，

DH===

在Rt△PHD中，tan∠HDP==(6分)

（2）连BC′和B′C交于Q，因为BCC′B′为正方形，则PQ⊥BC′则PQ=B′C=，而S△AC′D′=•1•=

∴VP-AC′D′=••=(体积单位)(12分)

解：（Ⅰ）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM ⊥CD

又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD

所以MO∥AB

A、B、O、M共面

延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角

所以，即

∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°；

（Ⅱ）CE是平面ACM与平面BCD的交线。由（I）知，O是BE的中点，则BCED是菱形

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC

∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ

因为∠BCE=120°

所以∠BCF=60°

所以，所求二面角的正弦值是。

解：（1）取AC的中点O，连结，则，

∵面与面ABC垂直，

∴⊥平面ABC，

∴即为所求，且易知=45°，

∴侧棱与底面ABC所成的角是45°。

（2）取AB的中点D，

∴AB⊥面A1OD，

∴即为所求，

又，

∴，

即，

所以，侧面与底面ABC所成的角是60°。

（3）设顶点C到平面的距离为d，

由题意，知，

又，

∴，

∴，

所以，顶点C到平面的距离为。