热门试卷

解：如图，

(1)设AC与DE交于点G，延长DE交CB的延长线于点F，

则易得△DAE≌△FBE，

∴BF=AD=1，∴CF=4，

∴，

又∵，

∴∠BFE=∠ACD，

又∵∠ACD+∠ACF=90°，

∴∠BFE+∠ACF=90°，

∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE，

又∵PC⊥底面ABCD，

∴PC⊥DE，

∴DE⊥平面PAC，

∵DE平面PDE，

∴平面PDE⊥平面PAC。

(2)连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，

则由(1)知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，

根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，

从而∠CPH，即∠CPG为直线PC与平面PDE所成的角，

在Rt△DCA中，，

在Rt△PCG中，，

所以，即直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为。

(3)由，可知点B到平面PDE的距离等于

点C到平面PDE的距离的，即CH，

在Rt△PCG中，，

从而点B到平面PDE的距离等于。

解：（1）设△的重心为H，连结

由题意可得，

设细钢管上下两段之比为

已知凳子高度为

则

∵节点O与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行

∴就是OB与平面所成的角，亦即，

∵

∴

解得，

即节点分细钢管上下两段的比值约为0.63；

（2）设

∴

设△的重心为H，则

由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知

设过点的细钢管分别为，

则

∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm。

解：(Ⅰ)P，C，D，M四点不在同一平面内，

反证法：假设P，C，D，M四点在同一平面内．

∵DC∥AB，

∴DC∥面ABPM，

∵面DCPM∩面ABPM=PM，

∴DC∥PM，

又DC∥AB，

∴AB∥MP，这显然不成立，

∴假设不成立，即P，C，D，M四点不在同一平面内。

(Ⅱ)∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，

∴PB⊥平面ABCD，

∴PB⊥AC，

又由AC⊥BD，

∴AC⊥面PBD，

∵AC面PAC，

∴面PBD⊥面PAC。

(Ⅲ)如图，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴， B为原点，

建立空间直角坐标系，

则，

，

设面PMD的法向量为，

则，

令x=1，得，

，

直线BD和平面PMD所成的角与互余，

所以，直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为。

（1）解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，

又正方体的棱长为，

∴AC=，A1C=，

∴。

（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

连接BD，DD1∥B1B，DD1=B1B，

∴DD1B1B为平行四边形，

∴D1B1∥DB，

∵E，F分别为BC，CD的中点，

∴EF∥BD，

∴EF∥D1B1， 

∵EF平面GEF，D1B1平面GEF，

∴D1B1∥平面GEF，

同理AB1∥平面GEF，

∵D1B1∩AB1=B1，

∴平面AB1D1∥平面EFG。

（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=，所以AD=BC=1，CD=AB=2，

∴CD2=BC2+BD2，∴BC⊥BD，

∵底面ABCD为平行四边形，

∴AD⊥BD．

而BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）

（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD

所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=，

而BD=，所以PD=1…（7分）

分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）

所以=(-1，0，1)，=(-1，0，0)，=(0，-，1)，设平面PBC的法向量=(a，b，c)，

则，即，可得平面的一个法向量为=(0，1，)．

∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ===．…（12分）

（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=，所以AD=BC=1，CD=AB=2，

∴CD2=BC2+BD2，∴BC⊥BD，

∵底面ABCD为平行四边形，

∴AD⊥BD．

而BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）

（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD

所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=，

而BD=，所以PD=1…（7分）

分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）

所以=(-1，0，1)，=(-1，0，0)，=(0，-，1)，设平面PBC的法向量=(a，b，c)，

则，即，可得平面的一个法向量为=(0，1，)．

∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ===．…（12分）

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，

即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，

设F为AB的中点，连结EF、FC，

∵D，E分别是CC1与A1B的中点，

又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，

∴GE=DF，

在直角三角形EFD中，，

∵EF=1，∴，

于是，

∵，

∴，

∴，

∴A1B与平面ABD所成角是。

（Ⅱ）连结A1D，有，

，

又EF∩AB=F，

∴，

设A1到平面AED的距离为h，则，

又

，

∴，

即A1到平面AED的距离。

解：设正方体的棱长为1，如图所示，

以为单位正交基底建立空间直角坐标系，

(Ⅰ)依题意，得，

所以，

在正方形ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，

所以是平面ABB1A1的一个法向量，

设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，

则，

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为。

(Ⅱ)依题意，得A1(0，0，1)，，

设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，

则由，，得，

所以，

取z=2，得n=(2，1，2)；

设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)，

又B1(1，0，1)，所以，

而B1F平面A1BE，

于是=0

F为C1D1的中点．

这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE。

解：设正四棱柱的高为h

（1）连，底面于

∴与底面所成的角为，即

∵，O1为中点

∴

又

∴是二面角的平面角，即

∴，；

（2）建立如图空间直角坐标系，有

设平面的一个法向量为

∴，取得

∴点C到平面的距离为，则。