热门试卷

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴FO∥BC，且,

又ABCD为平行四边形,ED∥BC，且,

∴FO∥ED，且FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形  

即EF∥DO   又EF平面PDC  

∴EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以DC为x轴，过D点做DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，

则有D (0 ,0 , 0)，C（2，0，0）,B（2，0，3），P（，A（0，0，3）                

设，

∴则   

设平面PBC的法向量为则  即  

取y=1得

∴AF与平面PBC所成角的正弦值为.   

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD

∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面SAD，

∵DE?平面SAD ∴DE⊥AB．

∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．

（2）解：  作AF⊥BE，垂足为F．

由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，

所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．

设AD=2a，则AB= a，SA=2 a，AE= a，

△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．

在Rt△AFE中，sin∠AEF= = ，

∴∠AEF=45° 故直线SA与平面BED所成角的大小45°．

解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），

所以N（ ，0，0），M（ ， ， ）

∴ =（0，﹣ ，﹣ ）， =（1，﹣1，0）

∴直线MN与BC所成角的余弦值为 = 

∴直线MN与BC所成角为 ；

（2）设平面SAB的一个法向量为 =（a，b，c）

 =（a，b，c）·（1，1，﹣1）=a+b﹣c=0  

=（a，b，c）·（0，1，﹣1）=b﹣c=0

令b=1可得法向量  =（0，1，1）

∵ =（0，﹣ ，﹣ ），

∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为| |= 

∴直线MN与面SAB所成角为   

（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，

∴GF∥DE且．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，

∴GF∥AB．

又，

∴GF=AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，

故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．

∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．

（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．

∵平面BCE⊥平面CDE，

∴FH⊥平面BCE．

∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD=DE=2AB=2a，则

，，

Rt△FHB中，．

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．

解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，

由，得：，

∴就是二面角A-BD-C的平面角，

∴，

在，

，

∴AC=2。

（Ⅱ）由，

∴，

∴，

∴，

又，

∴AC⊥平面BCD；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，

∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE，

作，则CF⊥平面ABD，

∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，

∴。

解：（I）作SO⊥BC垂足为O，

连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，

得SO⊥底面ABCD，

因为SA=SB，所以AO=BO，

又∠ABC=45°，

故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，

由三垂线定理，得SA⊥BC；

（II）由（I）知SA⊥BC，

依题设AD∥BC，故SA⊥AD，

由AD=BC=2，

，

又AO=AB，

作DE⊥BC，垂足为E，

则DE⊥平面SBC，连结SE，

∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，

，

所以，直线SD与平面SBC所成的角为。

（1）解：在正方体AC1中，

∵AA1⊥AD，AA1⊥AB，

∴AA1⊥平面ABCD，连结AF，

则∠EFA就是EF与平面ABCD所成的角，

设正方体棱长为a，

∵点F是BC的中点，

∴AF=，

而AE=，

则在Rt△EAF中，tan∠EAF=为所求。

（2）证明：在正方形ABCD中，

∵G是AB的中点，F是BC的中点，

∴DG⊥AF，

∵EA⊥平面ABCD，由三垂线定理，

∴DG⊥EF；

（3）解：当点M在棱B1C1的中点时，DG⊥平面EFM；

证明如下：连结MF、EM，

∵F是BC的中点，

∴MF∥BB1，

∵BB1∥AA1，

∴MF∥AA1，

∵AA1⊥平面ABCD，

∴MF⊥平面ABCD，

∴MF⊥DG，

∵DG⊥EF，

∴DG⊥平面EFM。

解：（1）连接AN，则MN与平面ABCD所成角为∠MNA

在Rt△ABN中，AB=2，BN=1

∴

在Rt△MAN中，

∴。

（2）由已知OA⊥底面ABCD可得

又由于在△ADM、△CDN中分别可求得

在△ABN和△AMN中分别可求得

在△AMN中，

∴

设点B到平面DMN的距离为d

则

∴。

解：（1）如图，连接AC1与A1C交于点K，连接DK

在△ABC1中，D，K为中点，

∴DK∥BC1又DK平面DCA1，BC1平面DCA1，

∴BC1∥平面DCA1。

（2）如图，∵AC=BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，

∴CD⊥平面ABB1A1取A1B1的中点E，又D为AB的中点，

∴DE，BB1，CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四边形，

∴C1E，CD平行且相等，

又CD⊥平面ABB1A1，

∴C1E⊥平面ABB1A1，

∴∠EBC1即所求角，

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，

∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，

∴BB1⊥平面ABC，

∴此三棱柱为直棱柱

设AC=BC=BB1=2，

∴，∠EBC1=30°。