热门试卷

方法一：（Ⅰ）证明：因为PD=PC=，CD=AB=2，

所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．                …（1分）

因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，

而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．    （3分）

因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，

所以由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）

（Ⅱ）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE．…（5分）

因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，

所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．…（6分）

因为PE=1，AE=，所以tan∠PAE===．

所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．…（8分）

（Ⅲ）当a=2时，PC∥平面AB1D．…（9分）

当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，

而∠PDC=45°，所以∠PDC1=90°，所以C1D⊥PD．…（10分）

而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．…（11分）

而C1D⊂面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D． …（12分）

方法二：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长AA1=a，则有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．  …（2分）

于是=(0，-1，-1)，=(3，1，-1)，=(0，1，-1)，所以•=0，•=0．…（3分）

所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．  …（4分）

（Ⅱ）A（3，0，a），所以=(3，-1，-1)，而平面ABCD的一个法向量为=(0，0，1)．…（5分）

所以cos＜，＞==-．…（6分）

所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为． …（7分）

所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．…（8分）

（Ⅲ）B1=（3，2，0），所以=(3，0，0)，=(0，2，-a)．

设平面AB1D的法向量为=(x，y，z)，则有，

令z=2，可得平面AB1D的一个法向量为=(0，a，2)．  …（10分）

若要使得PC∥平面AB1D，则要⊥，即•=a-2=0，解得a=2．…（11分）

所以当a=2时，PC∥平面AB1D．  …（12分）

解：（Ⅰ）连接A1B交AB1于Q，

则Q为A1B中点，连结PQ，

∵P是BC的中点，

∴PQ∥A1C，

∵PQ平面AB1P，A1C 平面AB1P，

∴A1C∥平面AB1P。

（Ⅱ）取中点M，连、AM，

则，

∵平面平面ABC，

∴平面平面，

∴平面，

∴为直线与平面所成的角， 

在正中，边长为2，M是中点，

∴，

∵面平面ABC，

∴为与平面ABC所成的角，即，

在菱形中，边长为2，

，M是中点，

∴，

∴，

在中，，，

从而，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为。

解：（1）如图，连接A1B，AB1

∵，，AA1⊥l，BB1⊥l，

∴AA1⊥β，BB1⊥α

则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角

在Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，

∴sin∠BAB1=

∴∠BAB1=45°

Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，

∴sin∠ABA1=

∴∠ABA1=30°

故AB与平面α，β，所成的角分别是45°，30°。

（2）∵BB1⊥α，

∴平面ABB1⊥α

在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B

过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角

在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，

∴AB1=B1B=

∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，

∴

在Rt△AA1B中，

由AA1·A1B=A1F·AB得

A1F=

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=

∴二面角A1-AB-B1的大小为arcsin。

解：（1）计算SD=1，，于是，

利用勾股定理，可知，

同理，可证

又，

因此，平面。

（2）过D做平面ABCDE，如图建立空间直角坐标系D-xyz

A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），

可计算平面SBC的一个法向量是

所以AB与平面SBC所成角为。

解：（1）BD1与平面ABCD所成角为∠D1BD，

在RtD1BD中，DD1=4，BD=2，

∴。

（2）连接BD，交AC于O，∠D1OD为二面角D1-AC-D的平面角，

在RtD1OD中，DD1=4， OD=，

∴。

（3）长方体ABCD-A1B1C1D1中，易知DD1⊥面ABCD，

∴DD1⊥AC，

正方形ABCD中，DB⊥AC，DD1∩DB=D，

∴AC⊥面BDD1，

∴AC⊥BD1。

  解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），

所以N（，0，0），M（，，）

∴=（0，﹣，﹣），=（1，﹣1，0）

∴直线MN与BC所成角的余弦值为=

∴直线MN与BC所成角为；

（2）设平面SAB的一个法向量为=（a，b，c）

=（a，b，c）·（1，1，﹣1）=a+b﹣c=0

=（a，b，c）·（0，1，﹣1）=b﹣c=0

令b=1可得法向量 =（0，1，1）

∵=（0，﹣，﹣），

∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为||=

∴直线MN与面SAB所成角为

（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且 ．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB．

又 ，∴GF=AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．

∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE．

（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．

∵平面BCE⊥平面CDE，

∴FH⊥平面BCE． ∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD=DE=2AB=2a，

则 ， ，

Rt△FHB中， ．

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 ．  

（1）证明：“略”；

（2）证明：“略”；

（3）解：45°。

解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角

设F为AB中点，连结EF、FC

∵D，E分别是CC1，A1B的中点，

又DC⊥平面ABCD，

∴CDEF为矩形，

连接DE，G是△ADB的重心，

∴GE=DF，

在直角三角形EFD中，

∵

∴

于是

∵

∴

∴

∴A1B与平面ABD所成的角是。

（2）连结A1D，有，

∵

又

∴平面

设A1到平面AED的距离为h，

则

∴

故A1到平面AED的距离为。