热门试卷

解：（1）45°；

（2）30°。

（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，

所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，），C1（-2，0，），E（-1，，）

则有：=(-1，0，)，=(-1，1，0)，=（-1，，）

设平面A1AB的法向量为=（x0，y0，z0），则由，可得

故可取=(，，1)

∴•=0

∵OE⊄平面A1AB

∴OE∥平面A1AB；

（III）∵C（-1，0，0），∴=（-1，0，-）

∵平面AA1B的一个法向量为=(，，1)

∴|cos＜，＞|=||=

∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量与所成锐角互余，

∴sinθ=

证明：（1）取AB中点G，连CG，GF，则GF∥BE，且GF=BE．

∴GF∥CD且GF=CD

∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF∥CG，

∵CG⊂平面ABC又DF⊄平面ABC

∴DF∥平面ABC．

（2）设A到平面BDF距离为h，由VA-BDF=VD-ABF知h=

又△BDF中，BF=，BD=DF=，∴S△BDF=，S△ABF=S△ABE=1，CB=2，

∴h==

设AB与平面BDF所成角为θ，则sinθ==

（I）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN

则有EN∥CD∥AM，且EN=CD=AB=MA．

∴四边形AMNE是平行四边形．

∴MN∥AE．

∵AB⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD．…（6分）

（II）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E是PD中点，

∴∠EAD=45°又MN∥AE

∴MN与平面ABCD所成的角等于∠EAD，

∴MN与平面ABCD所成的角等于45°…（14分）

（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，

因为M为SA的中点，

所以ME∥AB，且ME=AB，

因为N为菱形ABCD边CD的中点，

所以CN∥AB且CN=AB，

所以ME∥CN，且ME=CN，

所以四边形MECN是平行四边形，

所以MN∥EC，

又因为EC⊂平面SBC，ME⊄平面SBC，

所以直线MN∥平面SBC．（5分）

（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，相交于点O，

因为SA⊥底面ABCD，

所以SA⊥BD．

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD．

又SA∩AC=A，

所以BD⊥平面SAC．

又BD⊂平面SBD，

所以平面SBD⊥平面SAC．（10分）

（Ⅲ）如图，连接AN，因为MA⊥平面ABCD，

所以AN是MN在平面ABCD上的射影，

所以∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角．

设SA=AD=DC=2，

由∠ABC=60°，

可知AN=，AM=1，

所以在Rt△AMN中∠ANM=30°，

即直线MN与平面ABCD所成的角为30°．（14分）

解：如图，AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA)，

α表示它与水平面所成的交角，

CB表示斜着向上行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，

它们所达到的高度都是BD，

现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大，越大越费力。

在Rt△BAD中，sinα=，①

在Rt△BCD中，sinβ=，②

比较①与②，因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边，

也就是说AB＜CB，所以，＞，

又因为α、β都是锐角，所以，α＞β，

因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力，

山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也是这个道理。

解：（1）取CD的中点G，连接MG，NG。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG=2，NG=

因为平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。

因为MN=，

所以sin∠MNG=

则MN与平面DCEF所成角的正弦值为。

（2）假设直线ME与BN共面，

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，

所以AB//平面DCEF。

EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，

故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。

证明：（1）在梯形PDCB中，PA⊥AD

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PA⊂面PAD

∴PA⊥面ABCD

（2）由（1）得：PA⊥平面ABCD

又CD⊥AD，

∴CD⊥PD

∴∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角

在Rt△PAD中，PA=AD=1，

∴∠PDA=45°

即二面角P-DC-B的大小为45°．

（3）作CE∥AD交AB于E点，连ME

∵AD⊥AB

∴CE⊥AB

∵PA⊥平面ABCD

∴面PAB⊥面ABCD

∴CE⊥面PAB，

∴∠CME是CM与平面PAB所成的角

∵CE=1，ME=，

∴CM=，

∴sin∠CME==