- 立体几何中的向量方法
- 共7934题
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分别为AD，PB的中点，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求证：MN⊥平面PBC；
（2）求MN与平面ABC所成的角；
（3）求四面体P-MBC的体积．
正确答案
（1）取PC的中点Q，连DQ，NQ，则NQ∥BC且NQ=
因为BC∥DM，DM=
所以DQ∥MN，
因为PD⊥面ABCS，BC⊂面ABCD，
所以PD⊥BC，
因为BC⊥DQ．
因为PD=AD=a，所以DQ⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DQ⊥面PBC，因为DQ∥MN，所以MN⊥面PBC．
（2）由（1）知，MN∥DQ，
所以MN与面ABCD所成角即为DQ与面ABCD所成角的大小，
取DC的中点R，连QR，则QR∥PD，
所以QR⊥面ABCD，所以∠QDR即为DQ与面ABCD所成的角．
所以∠QDR=45°，即MN与面ABCD所成角为45°．
（3）因为MN⊥平面PBC，所以VP-MBC=VM-PBC=
如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E、F分别在线段PB、AC上，满足BE=CF．
（1）求PD与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值．
（3）求证：EF⊥CD．
正确答案
（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA是PD与平面ABCD所成角
又PA=AB=AD
∴∠PDA=45°，
∴PD与平面ABCD所成的角为45°
（2）连接BD交AC于O，连接PO，
则AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，而PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，又PO⊂面PAC，
∴BD⊥PO，
∴∠AOP就是平面PBD与平面ABCD所成角，
在Rt△AOP中，tan∠AOP=
（3）过点E作EH∥PA，交AB于H，连接FH，
则
∵BE=CF，BP=AC，∴
∴FH∥AD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥FH 又PA⊥CD，∴CD⊥EH
∴CD⊥平面EFH，
∴EF⊥CD．
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D 是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC 所成的角的正弦值为__ __
正确答案
球O与正方体ABCD-A1B1C1D1各面都相切，P是球O上一动点，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，其正切值为（ ）。
正确答案
2
等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为（ ）。
正确答案
45°
如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）。
正确答案
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为____ ．
正确答案
如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为
正确答案
2：1
已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是（ ）。
正确答案
在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角为（ ）。
正确答案
60°
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