热门试卷

解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．

∵△ABC是正三角形，

∴AE⊥BC．

又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且两平面交线为BC，

∴AE⊥侧面BB1C1C．

连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角．

∴∠ADE=45°．

在Rt△AED中，，

解得．

∴此正三棱柱的侧棱长为．

（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．

∵AE⊥侧面BB1C1C，

∴EF是AF在平面BCD内的射影．

由三垂线定理，可知AF⊥BD．

∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角．

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1， ，

∴．又，∴在Rt△AEF中，．

故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，

∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．

∴EG的长为点E到平面ABD的距离．

在Rt△AEF中，．

∵E为BC中点，

∴点C到平面ABD的距离为．

解：（1）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角。

设AB中点为D，连接PD，CD

因为AB=BC=CA，

所以CD⊥AB，

因为∠APB=90°，∠PAB=60°，

所以△PAD为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4

所以CD=2，OC===

在Rt△OCP中，tan∠OCP===

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan。

（2）由（1）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则=（1，0，），=（2，2，0）。

设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），

则由得出即，

取x=-，则y=1，z=1，所以=（-，1，1）

设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角

而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），

则cosβ===

故二面角B-AP-C的大小为arccos。

解：（1）证明：如图，以D为坐标原点，向量，，为单位正交基向量，

建立空间直角坐标系D﹣xyz．则P（，，0），M（0，1，）．

=（﹣，，﹣1），=（1，1，0），=（0，1，），

所以=0，=0．

所以

又因为BD∩DM=D，

所以A1P⊥平面MBD；

（2）由（1）可知，可取=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．

又=（﹣1，1，），

所以cos＜，＞=

所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为．

（3）=（0，1，0），=（﹣1，0，）．

设1=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，

则

解得即，故可取1=（1，0，2）．

由（1）可知，可取=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．

所以cos＜，1＞==．

所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为．

解：（1）∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴B1D⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩B1D=D，

∴AC⊥平面BB1C1C；

（2）∵AC⊥平面BB1C1C，AB1⊥BC1，

由三垂线定理可知，B1C⊥BC1，

∴平行四边形BB1C1C为菱形，

此时，BC=BB1，

又∵B1D⊥BC，D为BC中点，B1C=B1B，

∴△BB1C为正三角形，

∴∠B1BC=60°，即α=60°；

（3）过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC，

过E作EF⊥AB于F，连结C1F，

由三垂线定理，得C1F⊥AB，

∴∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角，

设AC=BC=AA1=a，在Rt△CC1E中，

由∠C1BE=α=，C1E=a，

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=，

∴∠C1FE=45°，

故所求的二面角C1-AB-C为45°。

解：（Ⅰ）∵BC∥AD，AD平面ADE，

∴BC∥平面ADE，

∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离，

连结BF交AE于H，

则BF⊥AE，

又由于正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，

∴AD⊥平面ABEF，

∴BF⊥AD，

又AD∩AE=A，

∴BF⊥平面ADE，

∴BH即为点B到平面ADE的距离，

由已知，在Rt△ABE中，BH=，

∴点G到平面ADE的距离为。

（Ⅱ）过点B作BN⊥DG，交DG延长线于点N，连结EN，

由三垂线定理知EN⊥DN，

∴∠ENB为二面角B-GD-E的平面角，

在Rt△BNG中，sin∠BGN=sin∠DGC=，

∴BN=BG·sin∠BGN=2×，

则在Rt△EBN中，tan∠ENB=，

所以二面角E-GD-A的正切值为；

（Ⅲ）设DE中点为O，连结OG，OH，

则OHAD，BG=AD，

∴OHBG，四边形BHOG为平行四边形，

∴GO∥BH，

由（Ⅰ）知，BH⊥平面ADE，

∴GO⊥平面ADE，

又OG平面DEG，

∴平面DEG⊥平面ADE，

∴过点A作AM⊥DE于M，则AM⊥平面DEG，

∴∠ADE为直线AD与平面DEG所成的角，

在Rt△EAD中，tan∠ADE=，

∴∠ADE=arctan，

即AD与平面DEG所成角为arctan。

解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直，

∴AD⊥AB，AD⊥AF，

故∠BAD是二面角B-AD-F的平面角，

依题意可知，ABCD是正方形，

所以∠BAD=45°，

即二面角B-AD-F的大小为45°；

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，

建立空间直角坐标系（如图所示），

则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0），

D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0），

所以，，

，

设异面直线BD与EF所成角为α，

则，

直线BD与EF所成的角为。

解：（I）如图取BD的中点F，连EF,AF，

∵E为BC中点，F为BD中点，

∴FE∥DC.   

又BD⊥DC,∴BD⊥FE.  

∵AB=AD ∴BD⊥AF

又AF∩FE=F，AF,FE面AFE

∴BD⊥面AFE  AE面AFE

∵AE⊥BD，∴BD⊥FE

（II）由（I）知BD⊥AF,

∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角   

∴∠AFE=60° ∵AB=AD==2,

∴△ABD为等腰直角三角形，故

又，

∴ 

 即∴AE2+FE2=1=AF2∴AE⊥FE

又由(1)知BD⊥AE且BD∩FE=F,BD面BDC,FE面BDC

∴AE⊥平面BDC

∴∠ADE就是AD与面BCD所成角 ，    

在中，，∴.                    

AD与面BDC所成角的正弦值为