热门试卷

(1)证明：见解析；(2)∠NHD＝30°。

(I)本小题属于翻折问题，本小题可以证明平面AMB//平面DNC即可.

（II）解本小题的关键是作出二面角的平面角，具体做法：过N作NH⊥BC交BC延长线于H，∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．

(1)证明：MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，

∴MB∥平面DNC………………………2

同理MA∥平面DNC，………………….3

又MA∩MB＝M，且MA、MB⊂平面MAB.

…………………..5

⇒AB∥平面DNC…………………………………7

(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H，……………………….8

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，

∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．………………….11

由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，

CN＝4－2cos60°＝3，∴NH＝3sin60°＝………………….13

由条件知：tanNHD＝＝，∴∠NHD＝30°…………………..14

（I）见解析；（II）。

本试题主要是考查了立体几何总空间中的线线垂直的证明以及线面角的求解的综合运用。

（1）对于线线的垂直的证明，主要利用线面垂直的性质定理得到，先分先要证明的线和平面，然后找突破口进而求证。

（2）而对于线面角的求解问题，既可以采用向量法，也可以采用得到斜线和斜线在平面内的射影，借助于线面角的定义作出角，分析求解。

解：（I）如图取的中点，连，

∵为中点，为中点，∴.

∴.  

∵ ∴

又，

∴                …………4分

∵，∴ …………6分

（II）由（I）知,

。

              …………8分

 ,

为等腰直角三角形，，

   …………10分

又由(1)知

就是与面所成角 ，           …………12分

在中，，         .

即直线与面所成角的正弦值为       …………14分

（1）45o；；（2）；（3）.

本试题主要是考查了空间中四棱锥中异面直线所成的角，以及线面角的求解和棱锥的体积的综合运用试题。可以建立直角坐标系，向量法来解，也可以运用几何性质来求解。

解：（Ⅰ）∵∥

异面直线与所成角是∠SDA或其补角

∵平面，平面

在Rt△SAD中, ∵,∠SDA=45o

异面直线与所成角的大小为45o.

（Ⅱ）又∵ 是在平面上的射影，∠CSB是与底面所成角  

在Rt△CSB中tan∠CSB=与底面所成角的正切值为

（Ⅲ）

17. (1)∵∴-------(3分)

(2)取SD的中点N，连接MN，AM

∵N为SC的中点，∴MN∥CD且MN=

又矩形ABCD中，F为AB的中点，∴AF∥CD且AF=

∴AF∥MN且AF="MN  " 则四边形AFNM为平行四边形----------（5分）

∴AM∥FN   AM平面SAD   FN平面SAD  ∴NF∥平面SAD------（7分）

(3)以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，SA所在直线为轴的空间直角坐标系，如图所示．

则依题意可知相关各点的坐标分别是：

，，，，如下图所示．

∴------------------…（9分）

∴，

--------------（10分）

设平面ABN的法向量

令----------------------------------------（11分）

设平面的法向量，则，

所以     即                  

所以

令，则------------------------------  (12分)

∴ ------------    （13分）

由图形知，二面角是钝角二面角

所以二面角的余弦值为．........................................................ （14分）

略

(2)

（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，

锥体高度为1。

设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，

OE//PB，                                             3分

EO面EAC，PB面EAC内， PB//面AEC。          6分

（2）过O作OFPA垂足为F , 

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF="               "

即当时，PA面BDF，                       12分

此时F到平面BDC的距离FH=

      14分

（1）见解析；（2）二面角的大小为.

本题主要考察空间中直线和直线之间的位置关系以及二面角的求法．一般在证明线线垂直时，通常先证明线面垂直，进而推得线线垂直，或用三垂线定理或其逆定理．

（1）先取AB 中点为O，连接PO，CO，根据条件得到PO⊥AB，再结合侧面PAB⊥底面ABCD，得到PO⊥底面ABCD，即可得到OC为PC在底面ABCD上的射影；最后结合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到结论．

（2）建立空间直角坐标系，然后分析法向量与法向量的夹角得到结论。

解：（1）如图，建立坐标系，

则，

， ……………………………2分

   ，

又，    .     ……………………………………6分

（2）设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则  …………………8分

 解得，

令，则  ……………………………………………………10分

 二面角的大小为. …………12分

见解析。

本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的判定和面面垂直的证明的运用。

（1）根据已知条件，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，

因为 F是EC中点，所以在△ACE中，FG∥AE可知结论。

（2）因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE，从而得到BC⊥AE，再利用线面垂直得到面面垂直的判定。

证明：(1) 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，

因为 F是EC中点，所以 在△ACE中，FG∥AE．………2分

因为 AE⊄平面BDF，FG⊂平面BDF，

所以 AE∥平面BDF． ………………………………………6分

(2) 因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE．………8分

因为 AE⊂平面ABE，所以 BC⊥AE．…………………………………………………………10分

又AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，

所以FG⊥平面BCE，……………………………………………………………………………12分

因为 FG⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE．………………………………………………14分