热门试卷

证明：      又面    

面          又

面

略

（本题满分10分）

（1）取中点，连，∵为正三角形，∴，

∵在正三棱柱中，平面平面,∴平面………2分

取中点为,以为原点，,,的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，

……………4分

∴,

∵,，

∴，,

∴平面.   ……………………………6分

（2）设平面的法向量为,.

，∴，∴，解得，

令，得为平面的一个法向量，     ………………………8分

由（1）知平面，∴为平面的法向量，

，

∴二面角的余弦值大小为.          ……………………10分

略

（1）平面平面，证明略。

（2）

（1）证明：是正三角形， ，又，，面， 面PAC 

面ABC

面PAC⊥面ABC。

(2)设P、M到面ABC的距离分别是， 

下面由等体积法求， 面

在中，AB=20，BC=4，，又，，，

。

略

（I）证明：∵D、E分别为AC、BC的中点

∴DE∥AB  又AB⊥BC  ∴DE⊥BC

又SB="SC   " ∴SE⊥BC

且SE∩DE=E，SE，DE平面SDE

故BC⊥平面SDE   ………………6分

（II）解：∵SC=SA，D为AC中点  ∴SD⊥AC

由（I）知BC⊥平面SDE，∴SD⊥BC

∴SD⊥平面ABC

（1）详见解析；（2）；（3）上存在满足条件.

试题分析：（1）条件中出现了中点，需要证明的结论为线面平行，因此可以考虑构造三角形中位线证明线线平行，因此在矩形中，连结交于，则点为的中点．则为的中位线，从而，又平面平面可知平面；（2）题中出现了线面垂直，因此可以考虑建立空间直角坐标系利用空间向量求解，可以为原点，所在的直线分别为

轴，建立空间直角坐标系，根据条件中数据，可先写出点的坐标：

，

从而可以得到向量的坐标：，因此可求得平面的法向量为，设直线与平面所成角为，利用即可求得；

（3）假设存在满足已知条件的，由，得，可分别求得平面的法向量为，再由平面的法向量，则由两平面所成锐二面角大小为可以得到关于的方程：，可解得或（舍去），方程有解，即说明上存在满足条件.

试题解析：（1）如图，在矩形中，连结交于，则点为的中点．在中，点为的中点，点为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；

（2）由，则，由平面平面且平面平面，得平面,∴，又矩形中以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，

∴，

设平面的法向量为，

∵，∴可取，设直线与平面所成角为，

则；

（3）如图，假设存在点满足条件，则可设，得，设平面的法向量为，则由得，

由平面与平面所成的锐二面角为得：，

∴或（舍去），∴所求点为的靠近的一个三等分点，即在上存在满足条件．

(1)详见解析; （2）详见解析

试题分析：(1) 要证证平面，根据线面平行的判定定理可转化为线线平行，在本题中可取的交点为，转化为证明，且平面，平面，即可得证平面;（2）要证平面⊥平面，联想到面面垂直的判定定理，可转化为证线面垂直，由于底面为菱形，则对角线，又⊥底面，可得⊥平面，进而得到平面，再加之平面，即可证得平面⊥平面．

(1) 证：（1）设的交点为，连底面为菱形，为中点，

又，，                              5分

且平面，平面，

平面.                                  7分

（2）底面为菱形，，⊥底面，，⊥平面，

，，平面，

又平面，平面⊥平面.                     14分

（1）详见解析；（2）点为线段的中点.

试题分析：（1）要证平面，只要证：,由题设平面

得，结合条件，可证平面，从而有，结论可证.

（2）以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示

写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出点的坐标，从而确定点M的位置.

解证：（1）因为平面， 平面

所以 ,                    2分

又因为，，平面，,

所以平面                              3分

又因为平面，平面，

所以                                   4分

因为，，平面，,

所以 平面                                 6分

（2）因为⊥平面，又由（1）知，

建立如图所示的空间直角坐标系 .则,,，,,

设，,则 ，

故点坐标为,        8分

设平面的法向量为，则       9分

所以

令，则.                          10分

又平面的法向量 

所以,   解得

故点为线段的中点.                          12分

略

如图，设CD中点为E，连接AE、BE，

因为ΔACD为等腰三角形,

所以AE⊥CD;

同理BE⊥CD.

所以CD⊥平面ABE,

所以CD⊥AB.

（1）详见解析；（2）平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为.

试题分析：（1）要证面面垂直，首先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？结合条件可得，，所以面AHC，从而平面AHC平面BCE.（2）因为AD、AB、AH两两互相垂直，故分别以AD、AB、AH所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量即可求解.

（1）在菱形ABEF中，因为，所以是等边三角形，又因为H是线段EF的中点，所以

因为面ABEF面ABCD，且面ABEF面ABCD=AB，

所以AH面ABCD，所以

在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，，得到，从而，所以，又AHAC=A

所以面AHC，又面BCE，所以平面AHC平面BCE    .6分

（2）分别以AD、AB、AH所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则有

设点，则存在实数，使得，代入解得

由（1）知平面AHC的法向量是

设平面ACM的法向量是，则得

所以

即平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为.      12分