热门试卷

（1）证明过程详见解析；（2）；（3）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直的判定和线面平行垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，先利用正三角形的性质得出与垂直，再利用线面垂直的性质得出与垂直，利用线面垂直的判定得垂直平面，从而得证；第二问，先利用中位线证出，再根据线面平行的判定定理证明平面，再根据已知条件得面面平行，所以得到，再转化边和角的值求出；第三问，先根据题意，建立空间直角坐标系，得出各个点坐标，计算出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求出余弦值.

试题解析：（1）∵是正三角形，是中点，

∴，即.

又∵平面，∴.

又，∴平面.

∴.

（2）取中点连接则平面.

又直线平面，

所以平面平面，

∴，

∵为中点，，

∴，

∵，，

∴，，

∵，，得.

（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

∴，，，．

为平面的法向量．

，．

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，则平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，则．

所以二面角余弦值为．

（1）证明参考解析；（2）

试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD对称.所以可得.再由面面垂直即可得直线BD垂直于平面.从而可得.

（2）由于AC=.AD=CD=1.所以可得角ACD等于300.又因为角ACB等于600.所以可得角DCB为直角.所以取BC边上的中点即为所求的点.本题考查的知识点是面面垂直线面垂直即线面平行.以及一个开放性的问题.

试题解析：证明：（1）在四边形ABCD中，因为BA=BC,DA=DC，所以．

平面，且 

所以．

(2)点E为BC中点，即,

下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，却E为BC中点，所以,

又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=,DA=DC=1，所以 ,

所以  ，即平面ABCD中有， ．

因为平面.AE平面.

所以 AE∥平面.

（1）详见试题解析；（２）在面中过作交于；在面中过作交于，则即为所求．

试题分析：（1）利用线面平行的性质定理先证明四边形的两组对边分别平行，从而证得四边形为平行四边形；（２）利用线面垂直的性质定理．

试题解析：（1）证明：．                          2分

同理又四边形为平行四边形．            6分

（2）解：在面中过作交于；在面中过作交于．

．                       12分

(1)见解析

（2）平面与平面所成的锐二面角的余弦值为　

本试题主要是考查了立体几何中线线垂直的证明，以及二面角的求解，综合考查了同同学们的空间想象的能力和逻辑推理能力和计算能力的运用。灵活运用定理和性质来解决问题的运用。

（1）对于线线垂直的判定，一般通过线面垂直的性质定理得到。关键是判定BM垂直于平面ACEF

（2）建立适当的坐标系，运用坐标表示平面的法向量，利用法向量与法向量的夹角来求解二面角的平面角的问题。

解：（法一）（1）平面平面，．……………1分

又，平面

而平面． ………………………………………3分

是直角三角形，，．

又，．

平面，，平面．

与都是等腰直角三角形．．

，即（也可由勾股定理证得）．………………………………5分

，平面．而平面，

． ………………………………………………………………………………6分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，．

而，平面．

平面，，

为平面与平面所成的二面角的平面角．    ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．   ………………………………11分

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为　 ………………………12分

（法二）（1）同法一，得．            ………………………3分

如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

． ………4分

由，

得， ．  ……………6分

（2）由（1）知．

设平面的法向量为，

由 得，

令得，，            …………………………9分

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则， …………………………11分

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．    ……………………12分

(1)

(2) 当为中的时，,可利用三角形相似证明即可.

试题分析：(1)要证明，需要证明即可;

(2)要使，

试题解析：(1)

(2)当为中的时，，

证明如下：设交于点,因为,所以所以,所以.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）由侧面，均为正方形可证明三棱柱是直三棱柱. 又点是棱的中点可证明.从而通过线面垂直的判定定理可证⊥平面；（Ⅱ）连结，交于点，连结，通过三角形中位线的知识证明线线平行，从而由线面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根据题中相关垂直条件构建空间直角坐标系.再找平面的法向量及平面的法向量，计算法向量的夹角，通过比较得到二面角的平面角，从而得到所求.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　     1分

因为平面，所以，　　 2分

又因为，为中点，

所以.                 3分

因为,

所以平面.          4分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，             6分

因为平面，平面，

所以平面.        8分

(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.

设，则.

，            9分

设平面的法向量为，则有

取，得.                                   10分

又因为平面，所以平面的法向量为，

设二面角的平面角为，则

∴           11分

所以，二面角的余弦值为.            12分

(1)见解析；(2).

试题分析：(1)先根据正方形的特征得到， ，再根据点的重合得到， ，由直线与平面垂直的判定定理可知， ，再由直线与平面垂直的性质定理得到 ；(2)先取的中点，连，，由等腰三角形底边上的三线合一以及勾股定理证明，，所以是二面角的平面角，再根据已知的边的长度

试题解析：(1)证明：∵是正方形，

∴，，        ..2分

∴，，       .3分

又，              . 4分

∴，             5分

又，            .6分

∴.                      7分

(2)取的中点，连，，如图所示：

则在中，∵，，

∴，                .8分

∴，

∴，                .. 9分

所以是二面角的平面角，         10分

在中，，，

∴，∴，         ..11分

∵，∴，又，∴，   .12分

∴，          .13分

所以二面角的平面角的余弦值是.        14分

（I）见解析；（Ⅱ）.

本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。

（1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

（I）平面平面；   …………………1分

证明：由题意得且 

又，则    …………………………3分

则平面,                  ………………5分

故平面平面             ………………7分

（Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立

空间直角坐标系如右图示，则,, 可得,  9分

平面ABCD的单位法向量为，          ……………………………………11分

设直线PC与平面ABCD所成角为，则  13分

则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分

解法2：

由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB,                                …………………………9分

在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，

则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，              …………………………11分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,

又

∴ …………………………13分

在Rt△PEC中.………………14分