热门试卷

（1）见解析；（2）45°.

第一问先利用取中点，由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面，然后以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积公式得到证明。

第二问中，假设在棱上存在一点，不妨设，

则点的坐标为则得到平面的一个法向量.，

又面的法向量可以是向量的夹角公式，表示出二面角，从而解得。

取中点，则由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以为原点，建立空间直角坐标系（如图）.则……………………………2分

（Ⅰ）证明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假设在棱上存在一点，不妨设

，

则点的坐标为，……………………………8分

∴

设是平面的法向量，则

不妨取，则得到平面的一个法向量.…………………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

则45°=

可解得，即

故在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45°. ………12分

解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，∵，又AD=DC=AB,可证BC⊥AC,

………2分

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC,

∴BC⊥平面ACFE；………4分

（Ⅱ）以A为原点，分别以AB、AD、AE为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=a,则D(0, 2a,0),B(4a,0 ,0),E(0,0,a),F(2a,2a,2a),             ………6分

设 

平面BEF,平面DEF,

，

则，

………8分

，

………9分

故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是.              ………12分

略

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）

试题分析：（1）先证DE//BC，根据直线与平面平行的判定定理可证∥平面；（2）连结PD，则PD  AB．再证DE AB．根据直线与平面垂直的判定定理可得AB平面PDE，所以；（3）以D为原点，直线AB,DE,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则=(1，0， )，=(0， ， ），求出平面PBE的一个法向量，由DE平面PAB，可得平面PAB的一个法向量为．最后根据向量的夹角公式求解即可.

试题解析：解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，

\DE//BC ．

DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，

\DE//平面PBC ．         3分

（Ⅱ）连结PD，

PA=PB，

 PD  AB．         4分

，BC  AB，

DE AB．         5分

又 ，

AB平面PDE         6分

PEÌ平面PDE，

ABPE ．        7分

（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．

8分

如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0) ，

=(1，0， )，=(0， ， ）．

设平面PBE的法向量，

令

得．          9分

DE平面PAB，

平面PAB的法向量为． 10分

设二面角的大小为，

由图知，，所以即二面角的大小为．         12分

（1）见解析；（2）；（3）棱上存在点，，使得⊥平面。

解：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

B（2，2，0）.

设 是平面BDE的一个法向量，

则由  

（II）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，

又是平面的一个法向量.

设二面角--的平面角为，由图可知 

∴ 

故二面角--的余弦值为 

（Ⅲ）∵ ∴ 

假设棱上存在点，使⊥平面，设，

则，

由

∴

即在棱上存在点，，使得⊥平面 。

证明：（1）

ADD1A1

  ……3分

又

ADD1A1

   ……3分

又      

……8分

（2）由正方体ABCD-A1B1C1D1  得   

 ……10分 由正方形ADD1A1知 ……12分

 ，  

 ……14分

 ……16分

略

详见解析

试题分析：（1）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出平面，得出．正方形中，对角线，由线面垂直的判定定理可证出平面；（2）取的中点，连，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出且，从而得到是平行四边形，可得，结合线面平行判定定理即可证出面．

解：（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB1C­1  　　　　　　 　　      2分

∵CB1平面BB1C1C，∴AB⊥CB1.　　　     4分

∵，，∴是正方形，

∴，∴CB1⊥平面ABC1.       6分

（2）取AC1的中点F，连BF、NF.       7分

在△AA1C1中，N、F是中点，∴NFAA1，又∵BMAA1，∴EFBM，   8分

故四边形BMNF是平行四边形，∴MN//BF，    10分

而EF面ABC1，MN平面ABC1，∴MN//面ABC1 12分

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取中点，连结，得出，再利用，根据线面垂直的判定证出平面，从而得到垂直平面内的线，再利用为中位线，得出平面，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，由第一问知两两互相垂直，所以建立空间直角坐标系，得出点，以及坐标，利用已知先求出平面与平面的法向量，再利用夹角公式求出夹角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，．

因为，所以．

又，，所以平面，

因为平面，所以．        3分

由已知，，又，所以，

因为，所以平面．

又平面，所以平面⊥平面．      5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，两两互相垂直．

以为坐标原点，的方向为轴的方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题设知，，，．

则，，．

设是平面的法向量，则

即，可取．      9分

同理可取平面的法向量．

故．         11分

所以二面角的余弦值为．        12分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由平面平面，可得平面，从而.

接下来显然考虑证明，这只需在平面中证明.

（Ⅱ）由于直线两两垂直，故可以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系如图所示 ，然后利用向量求直线与平面所成角的正弦值．

试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，

平面，，

平面.

平面，所以.

，

,

，即.

又，所以平面.

（Ⅱ）由于直线两两垂直，故可以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系如图所示 ，

则，

所以.

设平面的法向量为，

则，解之得一个法向量.

设直线与平面所成角为，

则，所以直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析。

本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及面面的垂直的判定，同时考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．

（Ⅰ）欲证EF∥平面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC内一直线平行，而EF是△SAC的中位线，则EF∥AC．又EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，满足定理所需条件；

（Ⅱ）欲证平面SBD⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABC内一直线与平面SBD垂直，而SD⊥AC，BD⊥AC，又SD∩DB=D，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面SBD，又AC⊂平面ABC，从而得到结论

证明：（Ⅰ）∵是的中位线，∴∥.

又∵平面，平面，∴∥平面

（Ⅱ）∵,，∴.∵,，∴.

又∵平面，平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面