热门试卷

（1）详见解析；（2）存在，

试题分析：（1）要 证明//平面，只需在平面内找一条直线与平行，连接交于点，则是的中位线，所以∥，则//平面；（2）（方法一：）先假设满足条件的点存在，由已知的垂直关系，找到二面角的平面角，然后在中计算，并判断是否小于1；（方法二:）找三条两两垂直相交的直线，建立空间直角坐标系，设点的坐标，并分别表示相关点的坐标，分别求两个 半平面的法向量和，再利用空间向量的夹角公式列式，确定点的位置，并判断其是否在线段上.

试题解析：(1)连接,设和交于点，连接，因为∥∥，==，所以四边形是平行四边形，是中点，又因为是中点，所以∥，又平面，平面，所以//平面；

(2)假设在线段上存在点，使二面角的大小为.

(解法一)延长交于点，过点作于，连接，因为四边形是矩形，平面⊥平面，所以⊥平面，又面，所以，则面，，则就是二面角的平面角，则=，中，，，则，所以=，又在中，，故在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.

（解法二）由于四边形是菱形，是的中点，，所以是等边三角形，则,有因为四边形是矩形，平面⊥平面，所以面，如图建立空间直角坐标系，， ，设平面的法向量为，则且，得，令，所以，又平面的法向量，，，解得，

故在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.

(1)证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，利用线面平行的判定定理，先找出面内的一条线，利用平行四边形证明，从而证明线面平行；第二问，用向量法解题，先建立直角坐标系，求出2个平面的法向量，再求夹角.

试题解析： (1)证明：取的中点，连结.

∴，且，

又，∴.

又是的中点，且，

∴，∴四边形是平行四边形．

∴.

又平面，平面.

∴平面.(6分)

(2)解：以为原点，如图建立直角坐标系，则，，，，，，．

设平面的法向量为，，．

则可得，令，则．

易得平面的法向量可为，

；

如图，易知二面角的余弦值等于，即为. （12分）

（1）见解析；（2）见解析；（3）3．

试题分析：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN，在三角形PAC中，利用中位线定理证明PA//MN，由线线平行得线面平行；（2）证PQ⊥AD，QB⊥AD，由PQ∩BQ=Q，所以AD⊥平面PBQ，再利用线面垂直得面面垂直；（3）先证PQ⊥面ABCD，（注意此步不可省略），再以Ｑ为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标及平面BQC的法向量，并设，利用关系PM=tMC，用坐标表示出来，列方程解出，并得，

，从而易得平面MBQ法向量为，再由数量积运算得，可得t值．

试题解析：证明：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN．         1分

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，∴ MN // PA                             2分

∵ MN平面MQB，PA平面MQB，       3分

∴ PA // 平面MBQ．                    4分

（2）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．   6分

∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，        7分

∴BQ⊥平面PAD．                                    8分

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．                   9分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．           6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．                          7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．                    8分

∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．                         9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．     10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，，．   11分

设，

则，，∵，

∴ ，   ∴     ，         12分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．                13分

∵二面角M-BQ-C为30°， ，∴ ．  14分

（1）见解析（2）

试题分析：

(1)根据面面垂直可得线面垂直,进而得到线线垂直．根据矩形的边长,可证明,根据平面平面,且为交线,可证平面,进而得到．

(2)要求二面角首先得找到二面角的平面角,根据是线段的中点,取的中点,则,根据(1)可知平面,过做,则可证明即二面角的平面角,根据已知条件可求出该角的余弦值．

(1)即．

平面平面,平面,

(2)

取的中点,则,由(1)知平面,平面．

过做,连接．因为,,所以平面,则．

所以根据二面角的平面角定义可知,即二面角的平面角，由已知

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定以及线面平行的判定，运用传统几何法进行证明，突出考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，连结，在中，利用中位线得，利用线面平行的判定，证明平面；第二问，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直.

试题解析：（1）∵为平行四边形，

连结,为中点，为中点，

∴在中，且平面，平面，

∴平面.

（2）因为面平面，平面面，

∵为正方形，，平面，

∴平面，∴.

又，所以是等腰直角三角形，

且，　　　即 ，

，且、面，

面，            

又面，　　面面.                       12分

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）存在

试题分析：（1）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行，根据，再根据直线BC，直线AD的位置关系，即可得线面平行.线面平行还有一种就是转化为面面平行.线面平行的证明就是这两种判断的相互转化.

（2）要证线线垂直转化为线面垂直，由题意可知，通过证明直线AC垂直于平面PAB，由面面垂直可知，只需证明直线AC垂直于AB，在三角形ABC中，由所给条件即可得到AC垂直于AB.

（3）由（2）可知直线PB垂直于平面PAC.所以可得直线PB垂直于直线PC.通过三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直线BD垂直于DC.所以BC是的斜边，即BC的中点就是所要找的Q点.

试题解析：（1）证明：底面为梯形，，

又平面，平面，

所以平面.

（2）证明：设的中点为，连结，在梯形中，

因为 ，，

所以 为等边三角形，，

又 ，

所以 四边形为菱形.

因为，，

所以，

所以，，

又平面平面，是交线，

所以 平面，

所以 ，即.

（3）解：因为 ，，所以平面.

所以，，

所以 为直角三角形，.

连结，由（2）知，

所以 ，

所以 为直角三角形，.

所以点是三个直角三角形：、和的共同的斜边的中点，

所以 ，

所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等. 

（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为．

试题分析：（1）连结,交于点,连结，由所给条件可得，即，则；（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则可得坐标，设为平面的一个法向量，由

，可得，同理为平面的一个法向量，， 知二面角的余弦值.

试题解析：（1）连结,交于点,连结， ∵，， ∴

又 ∵, ∴∴ 在△BPD中，

   ∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，

则，，∴，

解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，

解得，∴  

∴二面角的余弦值为．-------------------10分

方法二：在等腰Rt中，取中点，连结，则 

∵面⊥面，面面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，

得平面，故．

∴就是二面角的平面角．

在中，设，，，

，，

由，可知：∽，

∴，  代入解得：．

在中，，

∴，．

∴二面角的余弦值为．

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）连接，利用中位线得到，然后再利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）证法一是建立以点为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明；证法二：先证明，于是得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，从而得到；证法三是，得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，从而得到；（3）解法一是建立以点为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法求二面角的余弦值；解法二是过作交于点，过作交于，连接，先利用平面，于是说明为二面角的平面角，然后在直角，然后在直角中求的值.

（1）证明：连接，是的中点 ，过点，

为的中点，，

又面，面，平面；

（2）证法一：在直角中，，，，

棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，，，，，

，，

，；

证法二：连接，在直角中，，，，

，，

，，

即，

，，且，

平面，，又，故平面，

平面，；

证法三：连接，在直角中，，，，

设，，，

，即，

，，且，平面,

，又，故平面，

平面，；

（3）解法一：棱柱的侧棱与底面垂直，且，

以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

依题意得，，，，，，，

设面的一个法向量为，

由，得，令，得，

同理可得面的一个法向量为，

故二面角的平面角的余弦值为，

解法二：过作交于点，过作交于，连接，

平面底面，平面，

，平面，，

故为二面角的平面角，

在中，，，

，，

又，故，.

（1）参考解析；（2）参考解析

试题分析：（1）由题意判断直线与平面的位置关系，这类题型要转化为直线EF与平面内一条直线平行或则相交，所以转化为平面内两条直线的位置关系.通过作出直线EG即可得到直线EF与直线CG是相交的，即可得到结论.

（2）平面与平面垂直关键是要转化为直线与平面的垂直，通过研究底面平行四边形的边的大小即可得到BD垂直于BC.即可得到结论.

试题解析：（1）直线与平面相交.

证明如下：过作交于,

由底面是平行四边形得，     

相交，故直线与平面相交.

（2）解：过B作   四棱锥体积为

平面 

,  平面