热门试卷

（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45°

本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。

（1）根据已知条件可得，线面垂直判定定理可以得到线线垂直的证明。

（2）需要合理建立空间直角坐标系，然后设出两个半平面的法向量，然后借助于向量的数量积公式，表示得到向量的夹角，然后利用相等或者互补得到结论。

解：取中点，则由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以为原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则

……………………2分

（Ⅰ）证明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假设在棱上存在一点，不妨设

，

则点的坐标为，……………………………8分

∴

设是平面的法向量，则

不妨取，则得到平面的一个法向量.………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

则45°=

可解得，即

故在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45° …12分

（1）见解析；（2）

本试题主要是考查了线线的垂直的判定和线面角的求解运算的综合运用。

（1）首先利用以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，然后表示出，根据数量积为零，得到垂直关系。

（2）利用第一问中坐标，可以进一步表示出，利用平面的法向量与直线的方向向量来得到夹角的公式。

解：（1）取，

平面,又以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，                               ---------------2分

则，

所以，

故，即                               -----------------6分

（2）由（1）知，               -----------------8分

，得

则得平面                    ---------------10分

则，所以        ------------------12分

（1）见解析；（2）.

要求证平面，只需证明平面内的一直线，在说明BC不在面内，本题中，

通过证明为平行四边形,得出进而的证； 由，取AD中点E，  再证

，故是二面角的平面角，转化为三角形内求解。

证明: （Ⅰ）因为为中点，

所以                  ………1分

又，

所以有              …………………2分

所以为平行四边形,所以          ………3分

又平面平面

所以平面.                   ………5分

（Ⅱ）取AD的中点E，连接OE、PE，设，则

又，

,

是二面角的平面角                      9分

在中，，,

                                11分

二面角的余弦值为。                      12分

（其它解法酌情给分）

证明过程见解析

连接，

因为，，

所以（三角形中位线的性质）．

因为，，

由直线与平面平行的判定定理得．

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．第一问，法一，由，利用线面平行的判定得面，再利用面面平行的判定得面面，最后利用面面平行的性质得面；法二，建立空间直角坐标系，要证明线面平行，只需证AB与面DFC的法向量垂直即可；第二问，建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式计算体积，当体积最大值时，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：∵，面，面，

∴面，　　　　　　　　　　                   2分

同理面，                                    3分

又，∴面面，                4分

又面，∴面.                      5分

（2）法一：∵面面，又，面面，

∴面.

以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立

空间直角坐标系，            　              7分

设，则，

，

∴当时，三棱锥体积最大.                9分

∵， ∴，         10分

设平面的法向量， ，　∴，

令，得平面的一个法向量，           11分

又面的一个法向量为，

∴，                    12分　

∴平面与平面所成锐二面角的余弦是 .            13分

法二：∵面面，又，面面，

∴面

以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直

角坐标系．                                           2分

设，则.  

（1），              3分

面的一个法向量为，                       4分

，∴，又面，

∴面.                                          7分

（2）同法一．

证明：

（1）见解析；

（2）由已知角PDA就是平面PDC与平面ＡＢＣＤ所成二面角平面角直角三角形ＰＤＡ中设ＡＤ＝ａ，则ＰＤ＝，取ＣＤ中点Ｇ，直角三角形ＭＮＧ中，角ＭＧＮ＝，ＭＧ＝，于是＝，得，能确定，使MN是异面直线AB与PC的公垂线　　

（1）取CD中点G,连接MG,NG,则面MNG∥面PAD，易正明AB⊥面PAD，故AB⊥面MNE，进而AB⊥MN; 直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，只需再AB⊥PC即可。

证明：

（1）略

（2）由已知角PDA就是平面PDC与平面ＡＢＣＤ所成

成二面角平面角直角三角形ＰＤＡ中设ＡＤ＝ａ，则ＰＤ＝

取ＣＤ中点Ｇ，直角三角形ＭＮＧ中，角ＭＧＮ＝，ＭＧ＝

于是＝，得，能确定，使MN是异面直线AB与PC的公垂线　　

解法一：（Ⅰ）如图. 以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为与z轴建立空间直角坐标系：                                    

则    

设平面GEF的法向量，由法向量的定义得：

不妨设 z=1，  则              

    ，点P平面EFG

∴AP∥平面EFG   

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量         ，

因平面EFD与坐标平面PDC重合，则它的一个法向量为=（1，0，0）

设平面间的夹角为.   则       

故夹角的大小为45°。

（Ⅲ） ，  

解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG

（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC

∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD

过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知

∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，

故平面间的夹角大小为45°。  （3）同上

略

证明：连结A`C`、AC，

∵P、Q分别是A`D`、C`D`的中点

∴PQ//A`C`，

同理EF//AC，

同理GF//PR，

又PR∩PQ=P，GF∩EF=F

∴平面PQR//平面EFG

略

(1)证明见解析(2) 证明见解析

连结AC，设，连结

（1）,

∴,

又,

∴,

．

∴⊥．-----------------------------------------------7分

（2）在等边三角形中，，而，平面, 平面, ，∴⊥平面．于是.

在正方体ABCD—中，设棱长为，

∵E为棱CC的中点，由平面几何知识，得，

满足，∴．

平面⊥平面．------------------------------------14分