热门试卷

（Ⅰ）f'（x）=3x2+2ax+a．

由题意知，解得．

∴f（x）=x3-3x2-3x+2．

（Ⅱ）f'（x）=3x2-6x-3．

令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0．

解得x1=1-，x2=1+．

当x＜1-，或x＞1+时，f′(x)＞0；

当1-＜x＜1+时，f′(x)＜0．

∴f（x）的单调递增区间为：(-∞，1-)和(1+，+∞)，

f（x）的单调递减区间为：(1- ，1+)．

（1）∵f′(x)=•x2，

∴由•x2=3得x=±a，

即切点坐标为（a，a），（-a，-a）

∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0

∴=，

解得a=±1，

∴f（x）=x3．

∴g（x）=x3-3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，

∴g′（1）=0，

即3×12-3b=0，解得b=1

∴g（x）=x3-3x+3（6分）

（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，

∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，

∴b2-mb+4≥g（1）（8分）

即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，

则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范围是[3，+∞）

证明：（1）令t=logax，则x=at，f（t）=(at-a-t)（t∈R），

∴f（x）=(ax-a-x)（x∈R），

设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=，

（1）当a＞1时，因为x10，ax1-ax2＜0，

所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；

（2）当0＜a＜1时，因为a2-1＜0，ax1-ax2＞0，

所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；

∴x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），∴K=＞0，

故过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；

（2）f（3）=(a3-a-3)===a2++1≥2+1=3，

∵a＞0，a≠1，∴a2≠，∴上述不等式不能取等号，

∴f（3）＞3．