热门试卷

（I）由题意得，g′（x）=ax2+x，

∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，

∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-，即g′（1）=a+1=-，

解得a=-，

（II）由（I）得，f（x）=g′（x）ex=（ax2+x）ex，

则f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，

∴f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex≥0在[-1，1]上恒成立，

即ax2+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，

当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）

②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，

因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．

若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

因为g（0）=1＞0，必须满足，即，得-≤a＜0，

综上可知，a的取值范围是[-，0]，

（III）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等价于ex--1=0，令h（x）=ex--1，

因为h′（x）=ex+＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，

所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）

又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h（-3）=e-3-＜0，h（-2）=e-2＞0，

所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，

所以整数k的所有值为{-3，1}．

解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，

由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，

整理可得，

同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1·k2==﹣4，

即k1·k2为定值﹣4．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，

故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（Ⅲ）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，

即a2=时取等号，

∴最小值为．