直线的倾斜角与斜率
共895题

直线的倾斜角与斜率
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题型：填空题

填空题

已知函数在点（x1，f（x1））处的切线在x轴上的截距为x2，则当时，的取值范围是_________．

正确答案

题型：填空题

填空题

点P在曲线y=x3-x+上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是______．

正确答案

∵tanα=3x2-1，

∴tanα∈[-1，+∞）．

当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；

当tanα∈[-1，0）时，α∈[，π）．

∴α∈[0，）∪[，π）

故答案为：[0，)∪[，π)．

题型：简答题

简答题

已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．

（1）求的取值范围；

（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），求证：直线AB的斜率k∈(-，-]．

正确答案

（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），

∵f′（x）=3ax2+2bx+c，

∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，

∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c2＞0，

∴a≠0，c≠0，

∴-()2＞0，

所以0＜＜1．

（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2=-，x1x2=，

∴k==

=a（x22+x2x1+x12）+b（x2+x1）+c

=a[(x2+x1)2-x2x1]+b（x2+x1）+c

=a（-）+b（-）+c

=a[（-）+（-）+]

=（-+），

令t=，由b=-（a+c）得，=-1-t，t∈（0，1），

则k=[-（1+t）2+3t]=（-t2+t-1），

∵a＞0，-t2+t-1∈（-1，-]，∴k∈（-，-]．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）满足f()=2，f′()=4，则函数F（x）=f（x）•sinx的图象在x=处切线的斜率为______．

正确答案

F'（x）=f'（x）•sinx+f（x）•cosx

∵f()=2，f′()=4，sin=cos=

∴F'（）=f'（）•sin+f（）•cos=3

故答案为：3．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=在x=1处取得极值2．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

（3）若P（x0，y0）为f(x)=图象上任意一点，直线l与f(x)=的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

正确答案

（1）因f/(x)=，

而函数f(x)=在x=1处取得极值2，

所以⇒⇒

所以f(x)=；

（2）由（1）知f/(x)==，

如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，

所以，⇒-1＜m≤0，

所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k=f/(x0)==4×=4[-]

令t=，则t∈（0，1]，此时，k=8(t2-t)=8(t-)2-

根据二次函数k=8(t-)2-的图象性质知：

当t=时，kmin=-，当t=1时，kmax=4

所以，直线l的斜率k的取值范围是[- ， 4 ]．

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