直线的倾斜角与斜率
共895题

直线的倾斜角与斜率
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C的方程为+= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(，)为椭圆上一点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点P（x0，y0）满足=+2，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，求证：+2为定值；

（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）因为点Q(，)为椭圆上一点，

所以+=1，解得a2=4，

所以椭圆方程为+=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

又kOM•kON=•=-，化简得x1x2+2y1y2=0，

又M、N是椭圆C上的点，所以+=1，+=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由=+2，⇒，

所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）

=20（定值）；

（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足x02+2y02=20，即+=1，

所以点P的轨迹是以(±，0)为焦点的椭圆．

故存在点A（，0）、B（-，0），使得|PA|+|PB|=4（定值）．

题型：填空题

填空题

若直线ax+by=1的法向量为（1，2），则直线bx-3ay+5=0的倾斜角为______．

正确答案

∵直线ax+by+1=0的一个法向量（1，2）

∴直线ax+by+1=0满足

2a-b=0

故直线bx-3ay+5=0的斜率为 =

故直线的倾斜角为 arctan

故答案为：arctan．

题型：填空题

填空题

给出下列命题：

①若a＞b，n=2k+1，（k∈N*），则an＞bn； ②若ab≥0，则|a-b|=|a|-|b|；③设A（m，m+1），B（2，m-1），则直线AB的倾斜角α=arctan；④如果曲线C上的点的坐标（x，y）满足方程F（x，y）=0，则方程，F（x，y）=0的曲线是C．其中真命题的序号是______．

正确答案

对于①考察幂函数y=xn，n=2k+1，（k∈N*），它在R上是增函数，若a＞b，n=2k+1，（k∈N*），则an＞bn；正确；

对于 ②若a=0，b≠0，则|a-b|≠|a|-|b|；错；

③设A（m，m+1），B（2，m-1），直线AB的斜率k=，只有当m＞2时，直线AB的倾斜角α=arctan；故③错；

④虽然曲线C上的点坐标满足方程f（x，y）=0，但满足方程f（x，y）=0的点不一定在曲线C上．f（x，y）=0所表示的曲线不一定是C，故错．

其中真命题的序号是①

故答案为：①．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，=2+2（，分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x2-x-6．

（1）求k，b的值；

（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数的最小值．

正确答案

（1）由已知得A（-，0），B（0，b），则={，b}，

于是=2，b=2、∴k=1，b=2．

（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x2-x-6，

即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，

由==x+2+-5

由于x+2＞0，则≥-3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立

∴的最小值是-3．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的顶点A（1，0），B(3，2)，C（-2，3）．

（1）求AB边上的高所在的直线方程；

（2）求∠BAC的大小．

正确答案

（1）∵A（1，0），B(3，2)

∴kAB==…（2分）

∴AB边上的高所在的直线的斜率k=-=-=-…（4分）

∴AB边上的高所在的直线方程为：y-3=-(x+2)，即x+y+2-3=0…（6分）

（2）∵A（1，0），B(3，2)，C（-2，3）

∴kAC==-1…（8分）

由（1）知kAB=

∴直线AB、AC的倾斜角分别为600和1350…（10分）

∴∠BAx=60°，∠CAx=135°…（12分）

∴∠BAC=∠CAx-∠BAx=135°-600=750…（14分）

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