直线的倾斜角与斜率
共895题

直线的倾斜角与斜率
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题型：简答题

简答题

（理科做：）已知A（1，1）是椭圆+=1 (a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．

（I）求两焦点的坐标；

（II）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出其值；若不是定值，则说明理由．

正确答案

（I）∵|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，∴a=2，

设椭圆方程为+=1，

把（1，1）代入，得+=1，

∴b2=，

∴c2=4-=，

∴两焦点的坐标F1(-，0)，F2(，0)．

（II）设AC：y=k（x-1）+1，

联立，

得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0，

∵A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为xA=1，

∴xC=，

∵AC与AD的倾斜角互补，

∴AD为：y=-k（x-1）+1，

同理，xD=，

∵yC=k（xC-1）+1，

yD=-k（xD-1）+1，

yC-yD=k（xC+xD）-2k，

∴kCD==．

故CD的斜率为定值．

题型：填空题

填空题

已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A（1，0），B（2，a），C（a，1），则实数a的值是______．

正确答案

∵直线AB与直线AC有相同的斜率

∴=

解得：a=

故答案为：．

题型：简答题

简答题

等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程．

正确答案

设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，

则k1=，k2=-1，tanθ1===-3．

∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，

即=-3，=-3，解得k3=2．又∵直线l3经过点（-2，0），

∴直线l3的方程为y=2（x+2），即2x-y+4=0．

题型：简答题

简答题

如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．

正确答案

设P（x0，y0），则y0=x02，

∴过点P的切线斜率k=x0，

当x0=0时不合题意，∴x0≠0．

∴直线l的斜率kl=-=-，

∴直线l的方程为y-x02=-(x-x0)．

此式与y=x2联立消去y得

x2+x-x02-2=0

设Q（x1，y1），M（x，y）．

∵M是PQ的中点，

∴

消去x0，得y=x2++1（x≠0）就是所求的轨迹方程．

由x≠0知x2＞0，

∴y=x2++1≥2+1=+1

上式等号仅当x2=，即x=±时成立，

所以点M到x轴的最短距离是+1．

题型：简答题

简答题

已知A1，A2为双曲线C：-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A1P与直线A2Q相交于点M，

（1）求出动点M（2）的轨迹方程

（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足=λ，其中λ∈[，]，求出直线AB斜率的取值范围．

正确答案

（1）设P（x0，y0），Q（x0，-y0），A1(-，0)，A2(，0)

直线A1P的方程为：=，（1）

直线A2Q的方程为：=，（2）

将（1）×（2）得到：=，又因为-y02=1．

所以得到M的轨迹方程为：+y2=1，（y≠0）

（2）=λ，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．

设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．

由消去x得(y-2)2+2 y2=2，即y2-y+2=0

根据条件可知解得0＜|k|＜（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得

又由=λ得（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2）

从而消去y2得=消去

令∅(λ)=，λ∈[，]则∅′(λ)=1- =

由于≤λ≤所以∅（λ）是区间[，]上的减函数，

从而∅()≤∅(λ)≤∅()，即≤∅(λ)≤，

≤≤ ，∴≤≤解得≤|k|≤

而0＜k＜，∴≤k≤

因此直线AB的斜率的取值范围是[，]

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