热门试卷

24．⑴. 【证明】

方法一：圆的方程可化为：，圆心为，半径.

直线的方程可化为：，直线过定点，斜率为.

定点到圆心的距离，

∴定点在圆内部，∴不论取何值，直线和圆总相交.

方法二：圆的方程可化为：，圆心为，半径.

圆心到直线的距离，

，因，，，

故，∴不论取何值，直线和圆总相交.

⑵. 圆心到直线的距离

被直线截得的弦长＝，

当时，弦长；

当时，弦长，下面考虑先求函数的值域.

由函数知识可以证明：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增（证明略），

故当时，函数在处取得最大值－2；当时，函数在处取得最小值2.

即或，

故或，可得

或，即且，

且，

且.

综上，当时，弦长取得最小值；当时，弦长取得最大值4.

略

(1)由椭圆C的离心率e＝，得＝，其中c＝，

椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．

又点F2在线段PF1的中垂线上，

∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝()2＋(2－c)2，

解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由题意直线MN的方程为y＝kx＋m，

由消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，且kF2M＝，kF2N＝，

由已知α＋β＝π得

即＋＝0.

化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，

∴2k·－－2m＝0，整理得m＝－2k.

∴直线MN的方程为y＝k(x－2)，

因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0)．

略