- 动量守恒定律
- 共6204题
如图，一质量为M的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h。一质量为m的子弹以水平速度v0射人物块后，以水平速度v0/2射出。重力加速度为g。求：
(1)此过程中系统损失的机械能；
(2)此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。
正确答案
解：(1)设子弹穿过物块后物块的速度为v，由动量守恒得
解得
系统的机械能损失为
由②③式得
(2)设物块下落到地面所需时间为t，落地点距桌面边缘的水平距离为s，则
s=vt ⑥
由②⑤⑥式得
如图所示，两块带有等量异号电荷的平行金属板分别固定在长L=1 m的绝缘板的两端，组成一带电框架，框架右端带负电的金属板上固定一根原长为l0=0.5 m的绝缘轻弹簧，框架的总质量M=9 kg。由于带电，两金属板间产生了2×103 V的高电压，现有一质量为m=1kg、带电荷量q=+5×10-2 C的带电小球（可看成质点，且不影响金属板间的匀强电场）将弹簧压缩△l=0.2 m后用线拴住，因而使弹簧具有65 J的弹性势能。现使整个装置在光滑水平面上以v0=1 m/s的速度向右运动，运动中拴小球的细线突然断裂因而使小球被弹簧弹开。不计一切摩擦，且电势能的变化量等于电场力和相对于电场沿电场方向的位移的乘积，求：
(1)当小球刚好被弹簧弹开时，小球与框架的速度分别为多大？
(2)通过分析计算回答：在细线断裂以后的运动中，小球能否与左端金属板发生接触？
正确答案
解：(1)当弹簧刚好恢复原长时小球与弹簧分离，设此时小球的速度为v1，框架的速度为v2，根据动量守恒和能量守恒可列出下列方程：
mv1+Mv2=(m+M)v0
代入数值后解得：v1= -8 m/s，v2=2 m/s
(2)当小球与框架速度相等时，小球相对框架位移最大，根据动量守恒，此时两者共同速度仍为v0。设从小球被弹开到两者速度再次相等小球对地位移为s1，框架对地位移为s2，根据动能定理有：
对小球：
对框架：
代入数值解得：s1=31.5 cm，s2=13.5 cm
因s1+s2=0.45 m＜0.5 m，故小球不会碰到左侧金属板
如图所示，半径分别为R和r(R>r)的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不拴接。同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点。
(1)已知小球a的质量为m，求小球b的质量。
(2)若ma=mb=m，且要求a、b都还能够通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有多大的弹性势能。
正确答案
解：(1)
mg=
解得：va=
又：mva=mbvb
所以：mb=
(2)由题意分析知，应该按照a球在轨道最顶点具有临界速度这一条件计算。依照上面结果可得：
va=
mva=mvb
所以有：Ep=2×
如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面 上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板，滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内取值，E距A为s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度取g。
(1)求物块滑到B点的速度大小。
(2)试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功Wf与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。
正确答案
解：(1)物块先做匀加速直线运动，滑动摩擦力做正功，到A点时恰好与传送带的速度相等，然后沿光滑的半圆滑下来。设物块滑到B点时的速度为vB，对物块运动的整个过程由能量关系有：
解得：
(2)假设物块和滑板能够达到共同的速度，设为v共，以物块和滑板组成的系统为研究对象，由动量守恒定律：mvB=(M+m)v共设物块在滑板上的相对位移为△s，由能量守恒定律有：μmg△s=
由以上两式得：△s=6R<6.5R，所以滑块没有掉下来
设这个过程中滑板前进的位移为s，以滑板为研究对象，由动能定理得：
解得：s=2R
物块的对地位移：s1=2R+△s=8R
当2R≤L<5R时，滑块先做匀减速运动，再做匀速运动，滑板碰撞静止后，物块再做匀减速运动，滑上C点，再沿圆周运动
由动能定理：
解得：
当R＜L＜2R时，滑块先做匀减速运动，在没有和滑板达到共同速度之前，滑板碰撞静止，滑块仍然向前滑动，到C点，然后滑上轨道。若恰好能上升到中点，则应满足-μmg(L+6.5R)-mgh=
解得：L=0.5R
L越小越容易上到中点，但R＜2L＜2R，故物块不能上升到CD轨道的中点
Wf=μng(L+6.5R)
如图所示，光滑水平面上放置质量均为M=2kg的甲、乙两辆小车，两车之间通过一感应开关相连（当滑块滑过感应开关时，两车自动分离），一根通过细线拴着而被压缩的轻质弹簧固定在甲车的左端，质量m=l kg的滑块P（可视为质点）与弹簧的右端接触但不相连，其中甲车上表面光滑，乙车上表面与滑块P之间的动摩擦因数μ=0.5，此时弹簧储存的弹性势能E=10 J，弹簧原长小于甲车长度，整个系统处于静止状态，现剪断细线。求：
（1）求滑块P滑上乙车前的瞬时速度的大小；
（2）若滑块P滑上乙车后最终未滑离乙车，则P在乙车上滑行的距离为多大？
正确答案
解：（1）设滑块P滑上乙车前的速度为v，此时甲、乙两车的共同速度为v1，对整体应用动量守恒和能量关系有：
mv-2Mv1=0，
解得：v=4 m/s，v1=1 m/s
（2）设滑块P和小车乙达到的共同速度为v'，对滑块P和小车乙由动量守恒和能量关系有：
mv-Mv1=（m+M）v' ，
代入数据解得
如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的 一小段圆弧，圆心O与ab在同一水平线上。可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的
（1）物块B在d点的速度大小；
（2）物块A滑行的距离s和时间t。
正确答案
解：（1）在d点对B，由牛顿第二定律得：
（2）设A、B在分离瞬间速度大小分别为v1、v2，取水平向右方向为正，A、B分离过程动量守恒，则：
3m(-v1)+mv2=0
A、B分离后，B从b点到d点过程由动能定理得：
A向左减速至零过程由动能定理得：
A向左减速至零过程由动量定理得
-μ(3mg)t=0-3mv1，解得
质量为M的气球上有一质量为m的人，共同静止在距地面高为h的高空中，现在从气球上放下一根不计质量的软绳，人沿着软绳下滑到地面，软绳至少为多长，人才能安全到达地面？
正确答案
解：设人下滑过程某一时刻速度大小为v，此时气球上升的速度大小为V，取向上方向为正方向，由动量守恒定律得：
MV-mv=0，即MV=mv
由于下滑过程中的任一时刻，人和气球的速度都满足上述关系，故它们在这一过程的平均速度也满足这一关系，即
则
气球上升的高度为
人要安全到达地面，绳长至少为
如图所示，小车B原来静止在光滑水平面上，一个质量为m的铁块A（可视为质点），以水平速度v0=4.0 m/s滑上质量为M的小车B的左端，最后恰能滑到小车的右端。已知M：m=3：1，小车长L=1.2 m，g取10 m/s2。求：
(1)A、B最后的速度；
(2)铁块与小车之间的动摩擦因数；
(3)铁块A速度减小到最小所经历的时间。
正确答案
解：(1)铁块恰能滑到小车的右端，此时二者具有相同的速度v，根据动量守恒定律：
mv0=(M+m)v，解得v=
(2)根据功能关系
代入数据求得：μ=0.5
(3)由牛顿第二定律，铁块A的加速度a=-μg
由运动学公式，A减速到v所用时间
光滑水平面上放着一质量为M的槽，槽与水平面相切且光滑，如图所示，一质量为m的小球以v0向槽运动，若开始时槽固定不动，求小球上升的高度（槽足够高）；若槽不固定，则小球又上升多高？
正确答案
解：槽固定时，球沿槽上升过程中机械能守恒，达最高点时，动能全部转化为球的重力势能；槽不固定时，小球沿槽上升过程中，球与槽组成的系统水平方向上不受外力，因此水平方向动量守恒，由于该过程中只有两者间弹力和小球重力做功，故系统机械能守恒，当小球上升到最高点时，两者速度相同
槽固定时，设球上升的高度为h1，由机械能守恒得：
槽不固定时，设球上升的最大高度为h2，此时两者速度为v
由动量守恒得：mv0=(m+M)v
由机械能守恒得：
解得槽不固定时，小球上升的高度
甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是30 kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15 kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦力，求：
(1)甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？
(2)甲推出箱子时对箱子做了多少功？
正确答案
解：(1)设三个物体的共同速度为v，根据系统动量守恒，有(M+m)v0-Mv0=(M+m+M)v
设箱子被推出的速度为v'，根据箱、乙二者动量守恒有：mv'-Mv0=(M+m)v
(2)根据动能定理，甲对箱子所做的功为：
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