- 动量守恒定律
- 共6204题
环状空心的细金属管道质量为M，不计一切摩擦。
（1）将管道竖直固定，管内底部有一可视为质点的小球（如图甲），若小球初速度为v0，小球恰能通过最高点，此时球受到管道壁的弹力大小为Mg/2，小球的质量大小为多少？环的半径R为多少（与环的半径相比，管的粗细可不计）？
（2）现将管道水平放置在光滑水平面上，管直径两端A、B处有两个与第一问完全相同的小球（如图乙），初速度仍均为v0，当两球相遇时，小球速度大小为多少？
（3）紧接上问，若两球发生完全弹性碰撞，则当两小球分别回到AB处时，管道的速度大小为多少？
正确答案
解：（1）恰能过量高点N=mg
由题知：N=Mg/2
由机械能守恒定律知
（2）沿运动方向动量守恒
由动量守恒，得
（3）两球分别回到AB处时管道的速度为
由能量守恒，得
由动量守恒，得：
解得
某机械打桩机原理可简化为如图所示，直角固定杆光滑，杆上套有mA=55kg和mB=80kg两滑块，两滑块用无弹性的轻绳相连，绳长为5m，开始在外力作用下将A滑块向右拉到与水平夹角为37°时静止释放，B滑块随即向下运动带动A滑块向左运动，当运动到绳子与竖直方向夹角为37°时，B滑块（重锤）撞击正下方的桩头C，桩头C的质量mC=200kg。碰撞时间极短，碰后A滑块由缓冲减速装置让其立即静止，B滑块反弹上升h1=0.05m，C桩头朝下运动h2=0.2m静止。取g=10m/s2。求：
（1）滑块B碰前的速度；
（2）泥土对桩头C的平均阻力。
正确答案
解：（1）设碰前A的速度为vA，B的速度为vB，由系统机械能守恒定律：
物体A和物体B沿绳的分速度相等：
联立以上两式得：
（2）B与C碰撞动量守恒：
B碰后竖直上抛：
联立以上两式得：
对C用动能定理：
所以
如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0=4 m/s，g取10m/s2。
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
正确答案
解：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则
由②③式，得F=2N ④
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
由⑤⑥式，得v2=2m/s ⑦
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V'。由系统水平方向的动量守恒，得
将⑧式两边同乘以
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔
又
由⑩
甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行，且甲船在前乙船在后。从甲船上以相对于甲船的速度v，水平向后方的乙船上抛一沙袋，其质量为m。设甲船和沙袋总质量为M，乙船的质量也为M。问抛掷沙袋后，甲、乙两船的速度变化多少？
正确答案
解：由题意可知，沙袋从甲船抛出落到乙船上，先后出现了两个相互作用的过程，即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程。在这两个过程中的系统，沿水平方向的合外力为零，因此，两个系统的动量都守恒。值得注意的是，题目中给定的速度选择了不同的参照系。船速是相对于地面参照系，而抛出的沙袋的速度
取甲船初速度
根据动量守恒定律有：
取沙袋和乙船为研究对象，在其相互作用过程中有：
联立两式解得：
则甲、乙两船的速度变化分别为：
竖直平面内的轨道ABC由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道BC平滑连接组成，轨道放在光滑的水平面上。一个质量为m=1 kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初速度v0=8 m/s冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中点，已知轨道ABC的质量为M=3 kg。求：
（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度；
（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是多大？
（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v'0应多大。
正确答案
解：（1）小物块冲上轨道的初速度设为v0，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为v1，在这个过程中由系统动量守恒有mv0=(M+m)v1 ①
可得v1=2 m/s②
（2）小物块冲上轨道到最终停在AB的中点，设物块与轨道间滑动摩擦力为f，由能量守恒得
若小物块恰好到达C端，此时它与轨道有共同的速度v1，在此过程中系统总的动能减少转化为内能和物块的势能
由③、④解得，要使物块恰好不从C点离开滑道，圆弧半径应为R=0.8m ⑤
（3）设物块以初速度v'0上轨道，可以达到的最大高度为2R，物块从C点离开轨道，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点时，物块水平方向跟轨道的速度相等设为v2，则有mv'0=(m+M)v2 ⑥
由⑥、⑦可得v'0=9.25 m/s ⑧
火车车厢之间由车钩连接，火车起动前车钩间都有间隙。不妨将火车的起动简化成如图所示的情景：在光滑水平面上有19个静止的质量均为m的木箱，自右向左编号依次为0、1、2、3、……18，相邻木箱之间由完全非弹性的钩子连接，当钩子前后两部分相碰时，与钩子相连的两木箱速度立即变为相等。所有木箱均静止时，每一个车钩前后两部分间的距离都为L。
（1）若只给第0号木箱一个水平向右的初速度υ0，求第18号木箱刚运动时速度的大小；
（2）若从某时刻开始，持续对第0号木箱施加向右的水平恒力F，使木箱从静止开始运动，求
（i）第1号木箱刚运动时速度的大小；
（ii）从施加恒力F到第18号木箱开始运动经历的时间。
正确答案
解：（1）19个木箱相互作用过程满足动量守恒定律，即mυ0=19mυ18
得第18号木箱刚运动时速度的大小υ18=
（2）（i）若给第0号木箱施加恒定的水平拉力F，第0、1号木箱相互作用前，第0号木箱做匀加速直线运动，加速度大小为a0=
因为υ0′2=2a0L
得第0、1号木箱相互作用前瞬间第0号木箱的速度υ0′
第0、1号木箱相互作用过程满足动量守恒定律，即mυ0′=2mυ1
解得第1号木箱刚运动时速度的大小υ1=
（ii）第1号木箱刚运动时速度的大小(2υ1)2=
第1号木箱与第2号木箱作用前的速度υ1′，有υ1′2－υ12=2a1L
又第1号木箱的加速度大小a1=
第1、2号木箱相互作用过程满足动量守恒定律，2mυ1′=3mυ2
得第2号木箱刚运动时速度的大小υ2满足(3υ2)2=(2υ1)2+
同理得第3号木箱刚运动时速度的大小υ3满足(4υ3)2=(3υ2)2+
……
第18号木箱刚运动时速度的大小υ18满足(19υ18)2=(18υ17)2+
累加可得第18号木箱刚运动时速度的大小
对所有木箱，根据动量定理得Ft=19mυ18
得所求时间
如图所示，一质量为0.99kg的木块静止在水平轨道AB的B端，水平轨道与半径为10m的光滑弧形轨道BC相切。现有一质量为10g的子弹以500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出。已知木块与水平轨道的动摩擦因数μ＝0.5，g＝10m/s2。求：
（1）子弹射入木块与木块获得的共同速率；
（2）子弹射入后与木块在圆弧轨道上升的最大高度；
（3）从木块返回B点到静止在水平面上，摩擦阻力的冲量的大小。
正确答案
解：（1）设子弹射入木块与木块获得的共同速度为v，子弹射入木块前后系统动量守恒
（2）设木块上升最大高度为h，子弹与木块在光滑弧形轨道BC上运动，到达最高点的过程中系统机械能守恒
（3）木块返回B点进入水平轨道上作匀减速运动最终静止，摩擦力的冲量为I，由牛顿第二定律、匀变速运动规律得
I=5N·S
如图所示，光滑水平面MN的左端M处有一弹射装置P，右端N处与水平传送带理想连接。传送带水平部分长L＝8m，并以恒定速度v＝3m/s沿图示箭头方向移动。质量均为m＝1kg、静止于MN上的物块A、B（视为质点）之间压缩一轻弹簧，贮有弹性势能EP＝16J。若A、B与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，则解除弹簧压缩，弹开物块A、B后，求：
（1）物块B在传送带上向右滑行的最远距离L1；
（2）物块B返回到水平面MN时的速度vB′；
（3）若物块B返回水平面MN后，与被弹射装置P弹回的物块A在水平面MN上弹性碰撞（碰撞过程无动能损失，碰撞时间极短），使物块B从传送带水平部分的右端Q滑出，则弹射装置P必须给物块A至少做多少功？
正确答案
解：（1）解除锁定后弹簧恢复原长时，A、B的速度大小分别为vA、vB，
由系统机械能守恒、动量守恒mBvB＝mAvA
联立解得vA＝vB＝4m/s
设B沿传送带向右滑行的最远距离为L1，由功能关系
解得L1＝4m
（2）因为v＝4m/s＞3m/s，所以B返回时先加速再随传送带一起运动，
B返回到水平面MN时的速度vB′＝3m/s
（3）以A为研究对象，设碰后A、B的速度分别为vA′、vB′′，
由动能定理
B能从Q端滑出一定有
A与B质量相等，完全弹性碰撞后速度互换，则A的速度vA′＝vB′′
联立解得 W≥8J。
如图所示，水平地面上静止放置着物块B和C，相距=1.0m。物块A以速度
（1）计算与C碰撞前瞬间AB的速度；
（2）根据AB与C的碰撞过程分析k的取值范围，并讨论与C碰撞后AB的可能运动方向。
正确答案
解：（1）设AB碰撞后的速度为v1，AB碰撞过程由动量守恒定律得
设与C碰撞前瞬间AB的速度为v2，由动能定理得
联立以上各式解得
（2）若AB与C发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律得
代入数据解得
此时AB的运动方向与C相同若AB与C发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒得
联立以上两式解得
代入数据解得
此时AB的运动方向与C相反若AB与C发生碰撞后AB的速度为0，
由动量守恒定律得
代入数据解得
总上所述得
当
当
当
如图所示的凹形场地，两端是半径为L的光滑1/4圆弧面，中间是长为4L的粗糙水平面，质量为3m的滑块乙开始停在水平面的中点0处，质量为m的滑块甲从光滑圆弧面顶端A处无初速度滑下，进入水平面内并与乙发生碰撞，碰后以碰前一半的速度反弹。已知甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为μ1，μ2且μ1= 2μ2。甲、乙的体积大小忽略不计，求：
（1）甲与乙碰撞前的速度。
（2）碰后瞬间乙的速度。
（3）甲、乙在O处发生碰撞后，刚好不再发生碰撞，则甲、乙停在距B点多远处。
正确答案
解：（1）设甲到达O处与乙碰撞前的速度为v甲，由动能定理
得
（2）设碰撞后甲乙速度为
又
（3）由于μ1=2μ2，所以甲、乙在水平面上运动的加速度满足：a甲=2a乙
设甲在水平地面上通过的路程为S1、乙在水平地面上通过的路程为S2，则有：v'甲2=2a甲1
v'乙2=2a乙S2，即①
由于甲、乙刚好不再发生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地点停下。
有以下两种情况：
第一种情况：甲返回时未到达B时就已经停下，此时有：S1<2L
而乙停在甲所在位置时，乙通过的路程为：S2=2L+2L+S1=4L+S1因为S1与S2不能满足①，因而这种情况不能发生。
第二种情况：甲、乙分别通过B、C冲上圆弧面后，返回水平面后相向运动停在同一地点，
所以有：S1+S2=8L②
由①②两式得：
即小车停在距B为
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