热门试卷

（1）当x∈[-，]时，

由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-，]

当x∈[k-，k+]（k∈z）时，

由定义知：k为与x最近的一个整数，故

f（x）=|x-k|，x∈[k-，k+]（k∈z）；

（2）f()=，f(-)=

判断f（x）是偶函数．

对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足

k-≤x≤k+，f（x）=|x-k|，

由k-≤x≤k+，可以得出-k-≤-x≤-k+，

即-x∈[-k-，-k+]，

由（Ⅰ）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），

即f（x）是偶函数．

（3）f(x)-logax=0，即|x-k|-logax=0，

①当x＞1时，|x-k|≥0＞logax，

∴|x-k|-logax=0没有大于1的实根；

②容易验证x=1为方程|x-k|-logax=0的实根；

③当＜x＜1时，方程|x-k|-logax=0变为1-x-logax=0

设H（x）=logax-（1-x）（＜x＜1）

则H′（x）=+1＜+1=-+1＜0，

所以当＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，

所以方程没有＜x＜1的实根；

④当0＜x≤时，方程|x-k|-logax=0变为x-logax=0

设G（x）=logax-x（0＜x≤），显然G（x）为减函数，

∴G（x）≥G（）=H（）＞0，

所以方程没有0＜x≤的实根．

综上可知，当e-12＜a＜1时，方程f(x)-logax=0有且仅有一个实根，实根为1．

解：(1)∵f(x+2)=-f(x)，

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，

由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2，

又f(x)是奇函数，

∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，

∴f(x)=x2+2x，

又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，

∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)，

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4) =x2-6x+8，

从而求得x∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8；

(3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1，

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0，

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。

解：∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（0）=0

设x＜0，则-x>0，

∴

∴f（x）=

由f（x）>0得或

∴x>1或-1＜x＜0。

解：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

∴，

又∵，①

∴，

即，②

由①②，得。