热门试卷

（1）证明：（Ⅰ）在x≥0时，要使ex-x-1≤成立．

只需证：ex≤x2ex+x+1即需证：1≤x2+①

令y(x)=x2+，求导数y′(x)=ax+=ax+

∴y′(x)=x(a-)，又a≥1，求x≥0，故y'（x）≥0

∴y（x）为增函数，故y（x）≥y（0）=1，从而①式得证

（Ⅱ）在x≤0时，要使ex-x-1≤ae|x|成立．

只需证：ex≤e-x+x+1，即需证：1≤e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=e-2x+(x+1)e-x，求导数得m'（x）=-xe-2x[ex+a（x-1）]

而φ（x）=ex+a（x-1）在x≤0时为增函数

故φ（x）≤φ（0）=1-a≤0，从而m（x）≤0

∴m（x）在x≤0时为减函数，则m（x）≥m（0）=1，从而②式得证

由于①②讨论可知，原不等式e2-x-1≤e|x|在a≥1时，恒成立…（6分）

（2）将ex0-x0-1≤a•ex0变形为+-1＜0③

要找一个X0＞0，使③式成立，只需找到函数t(x)=+-1的最小值，

满足t（x）min＜0即可，对t（x）求导数t′(x)=x(a-)

令t'（x）=0得ex=，则x=-lna，取X0=-lna

在0＜x＜-lna时，t'（x）＜0，在x＞-lna时，t'（x）＞0t（x）在x=-lna时，取得最小值t(x0)=(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明：(lna)2-alna+a-1)＜0，在0＜a＜1时成立即可

又令p(a)=(lna)2-alna+a-1，对p（a）关于a求导数

则p′(a)=(lna)2≥0，从而p（a）为增函数

则p（a）＜p（1）=0，从而(lna)2-alna+a-1＜0得证

于是t（x）的最小值t（-lna）＜0

因此可找到一个常数x0=-lna（0＜a＜1），使得③式成立   …（14分）

（I）求导函数，可得f′(x)=-=（x＞0）

若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数，函数的单调增区间为（0，+∞）

若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，

∴f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）；

（II）证明：设f(x)=--，求导函数，可得f'（x）=-+=

令g（x）=（x-1）2-x（lnx）2，g'（x）=2（x-1）-（lnx）2-2lnx，g“（x）=，

设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-＞0，

∴h（x）在（1，2）上单调增，∴h（x）＞h（1）=0，

∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上单调增，∴g'（x）＞g'（1）=0，

∴g（x）在（1，2）上单调增，∴g（x）＞g（1）=0，

∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调减，f（x）＜f（2）＜0，

∴--＜0

∴-＜．

①∵f（x）=x2+2x-4lnx（x＞0）

∴f′(x)=2x+2-=（2分）

当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0

∴f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增

∴f（x）min=f（1）=3（4分）

②f′(x)=2x+2+=（5分）

若f（x）在（0，1）上单调增，则2x2+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≥-2x2-2x恒成立

令u=-2x2-2x，x∈（0，1），则u=-2(x+)2+，umax=0

∴a≥0（7分）

若f（x）在（0，1）上单调减，则2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≤[-2x2-2x]min=-4

综上，a的取值范围是：（-∞，-4]∪[0，+∞）（9分）

③（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3恒成立a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t2+4t-2⇒a[ln（2t-1）-lnt2]≥2[（2t-1）-t2]（10分）

当t=1时，不等式显然成立

当t＞1时，⇒a≤在t＞1时恒成立（11分）

令u=，即求u的最小值

设A（t2，lnt2），B（2t-1，ln（2t-1）），kAB=，

且A、B两点在y=lnx的图象上，又∵t2＞1，2t-1＞1，故0＜kAB＜y'|x=1=1

∴u=2•＞2，故a≤2

即实数a的取值范围为（-∞，2]（14分）

（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，

当x＜0时，-x＞0，

f(-x)=-2-x，

又∵函数f（x）是奇函数，

∴f（-x）=-f（x），

∴f(x)=+2-x，

综上所述f(x)=．

（2）∵f(1)=-＜f(0)=0，

且f（x）在R上单调，

∴f（x）在R上单调递减，

由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，

得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），

∵f（x）是奇函数，

∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），

又∵f（x）是减函数，

∴t2-2t＞k-2t2

即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，

∴△=4+12k＜0得k＜-即为所求．