- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论F(x)=a
正确答案
（1）f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3，由题意知m（m-2）为奇数又m∈z
且f（x）在（0，+∞）上递减，
∴m=1，f（x）=x-4
（2）F(x)=a
∵y=x-2是偶函数，y=x3是奇函数
①a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②a=0且b≠0时，F（x）为奇函数；
③a≠0且b=0时，F（x）为偶函数；
④a=b=0时，F（x）为奇且偶函数
已知f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断f(x)的单调性并证明。
正确答案
（1）解：由
∴f(x)的定义域为（-1，1），关于原点对称，
又
∴f(x)是奇函数。
（2）解：在定义域上，f(x)是减函数；
证明：设
则
∵
∴
∴
∴
∴在(-1，1)上，f(x)是减函数。
已知函数
（1）求实数a的值
（2）解方程：
正确答案
（1）a=
（2）
已知f（x）=
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）=
所以f（x）定义域为R，
又f（-x）=
所以函数f（x）为奇函数，
（2）任取x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=
∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a-（x1+x2）＞0
①当a＞1时，a2-1＞0，ax2-ax1＞0，则有f（x2）-f（x1）＞0，
②当0＜a＜1时，a2-1＜0．，ax2-ax1＜0，则有f（x2）-f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为
∴b≤-
求b的取值范围（-∞，-
已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）解关于x的不等式：
正确答案
（1）由题意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0
再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以函数是奇函数
（2）令x1＜x2，则x2=x1+x2-x1，x2-x1＞0
所以f（x1）+f（x2-x1）=f（x2），
又x＞0时，f（x）＜0
所以f（x2-x1）＜0
所以f（x1）＞f（x2），即f（x）为R上的减函数
（3）不等式
又f（x）为R上的减函数
所以bx+b＜
解得x＜
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