热门试卷

证明：函数f（x）的定义域为R，

对于任意的x∈R，都有f（-x）=-2（-x）2+1=-2x2+1=f（x），

∴f（x）是偶函数；

在区间[0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则有

f（x1）-f（x2）=(-2x12+1)-(-2x22+1)=2(x22-x12)=2（x2+x1）（x2-x1），

∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1+x2＞0，

即2（x2-x1）•（x1+x2）＞0，

∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）在[0，+∞）上是减少的．

（1）证明：设x∈R，t＞0，x+t＞x，则

∵t＞0，∴f（t）＜0，f（x+t）＜f（x）

∴f（x）在R上是减函数

（2）由（1）知f（x）在R上是减函数

∴f（x）在[-2，2]上单调递减，

令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0+0），∴f（0）=0

令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x），∴f（-x）=-f（x）

∴f（x）是奇函数

∴f（x）min=f（2）=f（1）+f（1）=-1，f（x）max=f（-2）=-f（2）=1

(1). (2)当时, .

(3）{k|k= nπ, n∈Z}    

(1)假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,即: 成立.在不成立的情况下，易用反例说明.因而 令, 则, 与题矛盾. 故.  

(2)解决本题的关键是，根据1时, 求出f(x)的表达式.

(3)解本题应讨论当k=0和k≠0两种情况.

然后解决本题的突破口是对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx   

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，下面再对T=1和T=-1两种情况进行讨论.

解:(1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,

即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故. …………5分

注：只要能判断即可得1分.

(2) , 且, 则对任意, 有,

设, 则, …………8分  

当时, ,

故当时, . …………10分  

3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.   …………11分  

当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有

f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .     

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=， …………12分

①当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2mπ, m∈Z .

②当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z . …………13分     

综合得，实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z}  …………14分 

若x＜0时，则有-x＞0，

∴f（-x）=（-x）2-sin（-x）=x2+sinx，

f（-x）=-f（x），

∴f（x）=-x2-sinx，（x＜0），