热门试卷

（1）取x1=2，x2=3∈（0，+∞），…1分

f（x1）=22=4，f（x2）=32=9，f（x1+x2）=52=25＞f（x1）+f（x2），…1分

∴函数f（x）=x2不是集合M0的元素．…1分

（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），

f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=ax1+ax2-ax1+x2…1分

=1-(1-ax1)(1-ax2)，…1分

∵0＜a＜1，x1＞1，根据指数函数的性质，得0＜ax1＜1，∴0＜1-ax1＜1，

同理，0＜1-ax2＜1，∴0＜(1-ax1)(1-ax2)＜1，∴1-(1-ax1)(1-ax2)＞0．

∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），∴函数f（x）=ax是集合M1的元素．…2分

（3）∵对数函数f（x）=lgx∈Mk，∴任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，

即lgx1+lgx2=lg（x1•x2）＞lg（x1+x2）成立，

∴x1•x2＞x1+x2对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，…1分

∴1＞+对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，

∵x1，x2∈（k，+∞），∴+∈（0，），

∴≤1，∴k≥2．…2分．

（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=1+，又∵f（x）为奇函数，

∴f（x）=-f（x）=-1-

∴f（x）=

（2）f（x）在（0，+∞）为单调增函数．

证明：任取0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1--1+=-=

∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，

∴f（x1）-f（x2）＜0，

∴f（x）在（0，+∞）为单调增函数．

（1）f'（x）=3x2-2bx+6．---------------------（1分）

∵x=2是f（x）的一个极值点．

∴f'（2）=0，即2是方程3x2-2bx+6=0的一个根，解得b=．----------------------（3分）

所以f'（x）=3x2-9x+6

令f'（x）＞0，则3x2-9x+6＞0，解得x＞2或x＜1．-----------------------（5分）

∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．-----------------------（6分）

（2）∵当1＜x＜2时f'（x）＜0，当x＞2或x＜1时，f'（x）＞0，

∴f（x）在（1，2）内单调递减，f（x）在（2，3）内单调递增．-------------------（8分）

∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2），同时在区间[1，3]上的也是最小值，且 f（2）=a+2．------------------（10分）

若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a2＞2恒成立，只需f（2）＞a2+2，即a+2＞a2+2，------------------（12分）

解得 0＜a＜1．------------------（13分）

即的取值范围是0＜a＜1．

（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，

∴g（x）=2x；

（2）由（1）知：f（x）=是奇函数．

因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即=0，∴n=1；

∴f（x）=，又由f（1）=-f（-1）知

=-，∴m=2；

（3）由（2）知f（x）==-+，

易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

又因f（x）是奇函数，从而不等式：

f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），

因f（x）为减函数，由上式推得：t2-2t＞k-2t2，

即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，

从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜-．