热门试卷

（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=-k．

当k≤0时，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数．

f（x）在（1，+∞）上无极值点．

当 k＞0时，令f′（x）=0，则 x=1+． 所以当x∈（1，1+ ）时，f′（x）=-k＞-k=0，

∴f（x）在∈（1，1+ ）上是增函数，

当x∈（1+，+∞） 时，f′（x）=-k＜-k=0，∴f（x）在∈（1+，+∞）  上是减函数．

∴x=1+ 时，f（x）取得极大值． 

综上可知，当 k≤0时，f（x）无极值点；  当k＞0时，f（x）有唯一极值点 x=1+．

（2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．

故只需考虑k＞0．

由1）知，f（x）max=f（1+ ）=-lnk，

若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）max=f（1+ ）=-lnk≤0 即可，

化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）．

3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1．

∴lnn3＜n3-1=（n-1）（n2+n+1）＜（n-1）（n+1）2．

∴＜，n∈N，n＞1．

∴+++…+＜ （3+4+5+…+n+1）=×（n-1）

=，n∈N，n＞1．

（1）∵函数f（x）=x2+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}，

∴x=-1，x=5是方程x2+（2a-8）x-5=0的两个实数根，

所以-1+5=8-2a，

解得a=2．

（2）∵a=2，∴f（x）=x2-4x=（x-2）2-4≥-4，

因为f（x）≥m2-4m-9对于x∈R恒成立，

所以-4≥m2-4m-9，

即m2-4m-5≤0，

解得-1≤m≤5，

故实数m的取值范围是{m|-1≤m≤5}．

（Ⅰ）f(x)=，f(1)==-，f(-1)==，

所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）

（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），

即=-对任意x∈R恒成立．（4分）

化简整理得（2a-b）•22x+（2ab-4）•2x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）

∴，∴（舍）或，∴．（8分）

另∵f（x）是定义在R的奇函数，∴，，

∴，验证满足，∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f(x)==-+，

∵2x＞0，∴2x+1＞1，

∴0＜＜1，从而-＜f(x)＜；（12分）

而c2-3c+3=(c-)2+≥＞对任何实数c成立；

所以对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．（14分）

（1）当a=1时，f(x)=，由1-x2≥0，

∴-1≤x≤1．所以f(x)=

∵f()=，f(-)=，∴f()≠f(-)，f()≠-f(-)，

∴f（x）为非奇非偶函数．                                     （4分）

（如举其他的反例同样给分）

当a=-2时，f(x)=，由4-x2≥0，得-2≤x≤2，

所以f(x)=，x∈[-2，0）∪（0，2]，

∵f（-x）=-f（x），

∴f（x）为奇函数．（4分）

（2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a2-x2≥0，得-a≤x≤a，

∴f(x)=，可以验证：对任意的a＞0，f()≠f(-)，f(-)≠-f()，

∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分）                               （3分）

a＜0时，由a2-x2≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=，x∈[a，0)∪(0，-a]，

并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）