热门试卷

因为2x+2-x＞0恒成立，所以函数的定义域为R，关于原点对称．

又f(-x)==-=-f(x)，

所以函数f（x）为奇函数．

（1）当a=2时，f（x）=

∴f2（1）=f[f（1）]=f（1）=1

f3(-)=f{f[f(-)]} =f[f(-)] =f(-1)无意义

（2）若对于任意x≠-1，等式f2（x）=x恒成立

∴f2（x）===x恒成立即a2=（a+1）x+1恒成立

∴a=-1

（3）结合（1）满足条件的真命题为：函数f（x）=，若x=-，则集合{fk（x）}为有限集．

（1）由题意得1+x＞0，即x＞-1，∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

1-x＞0，即x＜1，∴函数g（x）的定义域为（-∞，1），

∴函数h（x）的定义域为（-1，1）．

∵对任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1），

h（-x）=f（-x）-g（-x）=loga（1-x）-loga（1+x）=g（x）-f（x）=-h（x），

∴h（x）是奇函数．           …（6分）

（2）由f（3）=2，得a=2．

此时h（x）=log2（1+x）-log2（1-x），

由h（x）＞0即log2（1+x）-log2（1-x）＞0，

∴log2（1+x）＞log2（1-x）．

由1+x＞1-x＞0，解得0＜x＜1．

故使h（x）＞0成立的x的集合是{x|0＜x＜1}． …（12分）

（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=+=…（2分）

∵a＞0，

∴f'（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　 …（4分）

（II）由（I）可知，f′（x）=．

（1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，

∴[f（x）]min=f（1）=-a=，

∴a=-（舍去）　…（5分）

（2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴[f（x）]min=f（e）=1-=⇒a=-（舍去）…（6分）

（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，

∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=⇒a=-

∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=

∴a=-．…（8分）

综上所述，a=-．

（III）∵f（x）＜x2∴lnx-＜x2

又x＞0，∴a＞xlnx-x3…（9分）

令g（x）=xlnx-x3，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x2，

∴h'（x）=-6x=∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，

∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分）

∴h（x）＜h（1）=-2＜0

即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，

∴g（x）在（1，+∞）上是减函数

∴g（x）＜g（1）=-1

∴当a≥-1时，f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立．…（12分）

∴a≥-1