- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f(x)=x+
（I）判断函数f（x）的奇偶性；
（II）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（III）求函数f（x）在[2，4]上的最大和最小值．
正确答案
（I）函数的定义域为{x|x≠0}，
对任意不等于0的实数f（-x）=-x+
所以函数为奇函数
（II）f′（x）=1-
∵x＞1
∴
∴1-
∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数
（III）
由（II）知函数f（x）在[2，4]上是增函数
∴当x=2时，函数函数f（x）取得最小值为f（2）=
已知函数f（x）=ex-x
（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）证明：1+
正确答案
（1）由f′（x）=ex-1=0，得x=0
∵当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴[f（x）]min=f（0）=1∴x∈R时，f（x）≥1
（2）由（1）可知：当x＞0时，ex＞x+1，即x＞ln（x+1）
则1＞ln2，
1+
已知奇函数f（x）定义域R，且f（x）在[0，+∞）为增函数，是否存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对[0，
正确答案
由题意知，奇函数f（x）在R上是增函数，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），即cos2θ-3＞-4m+2mcosθ，
即cos2θ-3＞m（2cosθ-4），由于2cosθ-4＜0，故得m＞
即存在m＞4-2
答：存在存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对[0，
已知a，b∈R，函数f（x）=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值
（1）求a与b的关系式；
（2）若y=f（x）的单调减区间的长度不小于2，求a的取值范围（注：区间[m，n]的长度为n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2对一切x≥3恒成立，求a的取值范围．
正确答案
（1）f'（x）=3x2+2ax+b
∵函数f（x）=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值
∴f'（1）=3+2a+b=0
（2）由（1）知b=-2a-3
∴f'（x）=3x2+2ax-2a-3=（3x+2a+3）（x-1）＜0
∵y=f（x）的单调减区间的长度不小于2
∴|1-（-
解得：a≥0或a≤-6
（3）f（x）=x3+ax2+（-2a-3）x-2≥x-2对一切x≥3恒成立
x3+ax2-（2a+4）x≥0对一切x≥3恒成立
∴x2+ax-（2a+4）≥0对一切x≥3恒成立
即a（x-2）≥4-x2，a≥-x-2
∴a≥-5
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增．当x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且不等式f（x-2a）+f（x）＞0当x∈[1-a，+∞）时恒成立，
∴f（x-2a）＞f（-x）当x∈[1-a，+∞）时恒成立
又∵函数f（x）在定义域上单调递增．
∴x-2a＞-x，即x＞a当x∈[1-a，+∞）时恒成立
即1-a＞a，解得a＜
∴实数a的取值范围是(-∞，
故答案为：(-∞，
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