热门试卷

（Ⅰ）属于MD．

事实上，对任意x1，x2∈R，|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|≤2|x1-x2|，

故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈MD．

（Ⅱ）∵f(x)=在[0，+∞）为增函数

∴对任意x1，x2∈[0，+∞）有||=||=＜

（当x1=0，x2→0时取到），所以k≥，此即为所求．

（Ⅲ）存在．

事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于MD．

∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0⇒t=-，

又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx

若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．

设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，

①若k≥1，则

由h()=sinπ-ksin＜0，

且h()=sin-ksin=sin+k≥0，

所以，在[，]中另有一根，矛盾．

②若＜k＜1，

则h()=sinπ-ksin≥0，h[2π]=sin2kπ-ksin2π＜0，

所以在[，2π]中另有一根，矛盾．∴0＜k≤．

以下证明，对任意k∈(0，]，g(x)=kx符合题意．

（ⅰ）当x∈(0，]时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx

∴h（x）＞0．

（ⅱ）当x∈(，]时，sinkx＞sin≥ksin≥ksinx∴h(x)＞0．

（ⅲ）当x∈(，2π)时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．

从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，]满足题意．

综上所述：k∈[-，0)∪(0，]，b=0为所求．

（1）∵二次函数f（x）满足f（-1）=0，

且x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立，

∴取x=1，得1≤f（1）≤（1+1），

所以f（1）=1．

（2）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

因f（-1）=0，f（1）=1，

∴，

∴a+c=b=，

∵f（x）≥x对x∈R恒成立，

∴ax2+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，

∴

∴

∵a＞0，ac≥＞0，

∴c＞0．

∵=a+c≥2≥2当且仅当a=c=时，等式成立，

∴f（x）=x2+x+．

解（1）由f（x+2）=f（2-x）及f（x+7）=f（7-x）得：f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称．

∴f（x）=f[（x-2）+2]

=f[2-（x-2）]=f（4-x）

=f[7-（3+x）]=f（7+（3+x））

=f（x+10）

∴f（x）是以10为周期的周期函数．

∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9

（2）当x∈[16，17]，x-10∈[6，7]

∴f（x）=f（x-10）=（x-10-2）2=（x-12）2

当x∈（17，20]，x-20∈（-3，0]，4-（x-20）∈[4，7）

∴f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]

=f（24-x）=（x-22）2

∴g（x）=

∵x∈[16，17]时，g（x）最大值为16，最小值为9；x∈（17，20]，g（x）＞g（17）=9，g（x）≤g（20）=36

∴g（x）的最大值为36，最小值为9．

（3）由f（0）=0，及f（0）=f（4）=0，知f（0）在[0，10）上至少有两个解．

而在[-1000，1000）上有200个周期，至少有400个解．又f（1000）=0

所以最少有401个解．且这401个解的和为-200．