- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f(x)=x+log3
（1）求实数a的值；
（2）函数g（x）的图象由函数f（x）的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出g（x）的对称中心坐标，若g（b）=1，求g（4-b）的值；
（3）若（2）中g（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．
正确答案
（1）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）对定义域内一切x均成立且函数的定义域关于原点对称．
方法一：由题意可得，
方法二：一般式方法，-x+log3
（2）由（1）可知，函数f（x）关于原点（0，0）对称 （5分）
则函数g（x）的对称中心为P（2，2）（7分）
所以 g（x）+g（4-x）=4（9分）
当g（b）=1时，g（4-b）=4-g（b）=3（11分）
（3）f(1)=1+log3
由对称性可知，函数y=g（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成封闭图形的面积S
S=
（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0-δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．
正确答案
（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x-x0|＜δ时，
总有|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在点x0处连续；
（2）证：由已知f（x）在点x=x0处连续，
且f（x0）＞0，
所以，由定义，对于给定的ε=
必存在δ＞0，当|x-x0|＜δ时，
有|f（x）-f（x0）|＜
从而f（x）＞f（x0）-
即在（x0-δ，x0+δ）内处处有f（x）＞0．
给出下列结论：①y=1是幂函数；
②定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（0）=0
③函数f(x)=lg(x+
④当a＜0时，(a2)32=a3
⑤函数y=1的零点有2个；
其中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的编号）．
正确答案
根据幂函数的定义可得y=1不是幂函数，故排除①．
由奇函数的定义可得定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（0）=0，故②正确．
∵f(x)=lg(x+
故函数f(x)=lg(x+
当a＜0时，(a2)32= [(-a)2]32=（-a）3=-a3，故④不正确．
由于函数y=1没有零点，故⑤不正确．
故答案为②③．
若函数f（x）是R上的奇函数，则f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=______．
正确答案
∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴（-2）=-（2）；
f（-1）=-f（1）；
f（0）=0
∴f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=0
故答案为：0
已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+m）f（x）．若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，则实数m的取值范围为______．
正确答案
已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，故有f（-x）=f（x）恒成立，即x2 -bx+c=x2+bx+c 恒成立，故有b=0，f（x）=x2+c．
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1．
∵g（x）=（x+m）f（x）=x3+mx2+x+m，从而g′（x）=3x2+2mx+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2mx+1=0有实数解．
此时，有△=4m2-12≥0解得 m∈（-∞，-
故答案为 （-∞，-
扫码查看完整答案与解析