函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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函数奇偶性的性质及其判断
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题型：简答题

简答题

已知f （x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判断f （x）的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若f()=-，令bn=，Sn表示数列{bn}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g （n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g （n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

正确答案

（1）令a=b=0，得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．

令a=b=1，得f（1）=1•f（1）+1•f（1），∴f（1）=0．（2分）

（2）令a=b=-1，得f（1）=f[（-1）•（-1）]=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1），∴f（-1）=0．

令a=-1，b=x，得f（-x）=f（-1•x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x）+0=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（5分）

（3）当ab≠0时，=+．

令g(x)=，则g(a•b)=g(a)+g(b)，∴g（an）=ng（a）．（7分）

∴f（an）=an•g（an）=n•an•g（a）=n•an-1•f（a）．

∵f(1)=f(2•)=2f()+f(2)=0，f()=-

∴f（2）=2，

∴bn==（9分）

∴Sn=1+++…+，

∴Sn-Sn-1=(n≥2)

即nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，（11分）

∴（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1，…，2S2-S1=S1+1，

∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1，

∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=（Sn-1）•n（n≥2）

∴g（n）=n．

故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立（13分）

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=lg

（1）求f（x）的定义域；

（2）证明f（x）是奇函数；

（3）判断函数y=f（x）与y=2的图象是否有公共点，并说明理由．

正确答案

（1）由题意可得＞0

解得-1＜x＜1

∴函数的定义域（-1，1）

（2）函数的定义域（-1，1）关于原点对称

f（-x）=lg=-lg=-f（x）

函数f（x）为奇函数

（3）令lg=2可得=100，解得x=-∈(-1，1)

函数y=f（x）与y=2的图象是有公共点(-，2)

题型：简答题

简答题

函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf()+nf()成立．

（1）求f（0）的值；

（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；

（3）求所有满足条件的函数f（x）．

正确答案

（1）令m=n=0

∴f2（0）=0∴f（0）=0

（2）令m=n

∴(m)=2mf()=4••f()＞0

∴对于任意的tt•f(t)=(2t)≥0

∴即证

（3）令m=2n=2x

∴f(2x)•f(x)=2xf()+x•f(x)=f2（x）+xf（x）

当f（x）=0时恒成立，

当f（x）≠0时有，

∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）

∴f（x）=x．

题型：填空题

填空题

若f（x）是偶函数，其定义域为R且在[0，+∞）上是减函数，则f（-）与f（a2-a+1）的大小关系是______．

正确答案

∵a2-a+1=（a-）2+≥，∵f（x）在[0，+∞]上是减函数，

∴f（a2-a+1）≤f（）．又f（x）是偶函数，∴f（-）=f（）．

∴f（a2-a+1）≤f（-）

故答案为：f（a2-a+1）≤f（-）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t∈R是参数）

（1）当t=-1时，解不等式f（x）≤g（x）．

（2）如果x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求参数t的范围．

正确答案

（1）原不等式等价于即，即∴x≥，所以原不等式的解集为{x|x≥}

（2）由题意可知x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立等价于x∈[0，1]时，有

即恒成立

故x∈[0，1]时，t≥-2x+恒成立，于是问题转化为求函数y=-2x+x∈[0，1]的最大值，令μ=，则x=μ2-1，μ∈[1，]．

而y=-2x+=-2(μ-)2+在[1，]上是减函数，

故当μ=1即x=0时，-2x+有最大值1，所以t的取值范围是t≥1．

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