- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+
正确答案
要使函数f（x）=lg（sinx+
只需
即函数定义域为R，关于原点对称．
又f（x）+f（-x）=lg（sinx+
=lg（
即，f（-x）=-f（x）
故函数f（x）为奇函数．
对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）证明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3k-1）（k∈N*）的值；
（Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵对k∈N*，f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=f（3k）①，
由已知f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
设f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）严格递增，即1＜a⇒f（1）＜f（a）=3．，∴
由③有f（f（1））=f（a）=3，
故f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3•2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此类推归纳猜出：f（3k-1）=2×3k-1（k∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当k=1时，显然成立；
（2）假设当k=l（l≥1）时成立，即f（3l-1）=2×3l-1，
那么当k=l+1时，f（3l）=f（3×3l-1）=3f（3l-1）=3×2×3l-1=2•3l．猜想成立，
由（1）、（2）所证可知，对k∈N*f（3k-1）=2×3k-1成立．
（Ⅲ）存在p=3k-1+1，当p个连续自然数从3k-1→2×3k-1时，
函数值正好也是p个连续自然数从f（3k-1）=2×3k-1→f（2×3k-1）=3k．
定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题：①f（x）是周期函数；②f（x）图象关于x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上为减函数；⑤f（2）=f（0），其中的真命题是______．（写出所有真命题的序号）
正确答案
∵f（x+1）=-f（x），
∴函数的周期是2，
f（x）在[-1，0]上是增函数，且定义在（-∞，+∞）上的偶函数，
∴①f（x）是周期函数，正确，
②f（x）图象关于x=1对称；正确
③f（x）在[0，1]上是增函数；应该是减函数，不正确，
④f（x）在[1，2]上为减函数；应该是增函数，不正确
⑤f（2）=f（0），正确
总上可知①②⑤正确
故答案为：①②⑤
从任何一个正整数n出发，若n是偶数就除以2，若n是奇数就乘3再加1，如此继续下去…，现在你从正整数3出发，按以上的操作，你最终得到的数可能是______．
正确答案
得到的第一个数是3×3+1=10；第二个数是10÷2=5；得到的第三个数是5×3+1=16；
得到的第四个数是16÷2=8，；得到的第5个数为8÷2=4；得到的第6个数为，4÷2=2；得到第7个数为2÷2=1．
得到第8个数为1×3+1=4…所以后面的数是以4；2；1为一个周期的数
故答案为：4，2，1
函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是______．
正确答案
∵y=f（x-2010）的图象是y=f（x）的图象向右平移了2010个单位，又y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．
∴y=f（x）关于点（0，0）对称，即y=f（x）是递增的奇函数．
∴f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0，即f（x2-6x）＜f（-y2+8y-24）．
∴x2-6x＜-y2+8y-24化简得：（x-3）2+（y-4）2＜1．
∴点（x，y）在以（3，4）为圆心，半径为1的圆内．而x2+y2就是点（x，y）到原点的距离的平方．
作图易知：42＜x2+y2＜62，即16＜x2+y2＜36．
故答案为：（16，36）
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