- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x-1，则f（x-1）＜0的解集是 ______
正确答案
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x-1
∴当x∈[0，+∞）时，f（x）＜0
即x-1＜0
解得：[0，1）
又∵函数f（x）是偶函数
∴f（x）＜0的解集为（-1，1）
∴f（x-1）＜0可化为：
-1＜x-1＜1
解得：0＜x＜2
故答案为：（0，2）
已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设F(x)=-
正确答案
（Ⅰ）由题意，∵f（x）=ax2+a2x+2b-a3
又x∈（-2，6），f（x）＞0；x∈（-∞，-2）∪（6，+∞），f（x）＜0．
∴-2和6是方程ax2+a2x+2b-a3=0的两根．
故
此时，f（x）=-4x2+16x+48
（Ⅱ）∵F(x)=-
∴欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx2+4x-2＜0恒成立，则须要满足：
①当k=0时，原不等式化为4x-2＜0，显然不合题意，舍去．
②当k≠0时，要使二次不等式的解集为x∈R，则必须满足：
综合①②得k的取值范围为（-∞，-2）．
定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，f(sin(
正确答案
∵函数f（x）为奇函数又是减函数，
f[sin(
⇔f[sin(
⇔sin(
整理得：m＞
设y=
下面只需求y=
由于y(2-cosθ)=2+cosθ，cosθ=
可知y的最大值=3，
∴m＞3
∴实数m的取值范围为（3，+∞）．
设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a-2）x的导函数是f'（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为______．
正确答案
∵f（x）=x3+ax2+（a-2）x
∴f'（x）=3x2+2ax+（a-2）
∵导函数是f'（x）是偶函数
∴a=0，则f'（x）=3x2-2
∴f'（0）=-2，在原点处的切线方程为y=-2x
故答案为y=-2x
已知函数f（x）=
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）设x＜0，则-x＞0，所以f（-x）=-（-x）2+2（-x）=-x2-2x，
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．
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