函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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函数奇偶性的性质及其判断
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题型：简答题

简答题

函数f（x）=2sinπx与函数g(x)=的图象所有交点的橫坐标之和为______．

正确答案

函数g(x)=关于（1，0）对称，函数g（x）单调递增，

且函数f（x）=2sinπx也关于（1，0）对称，

由=2，解得x-1=8，即x=9，

由=-2，解得x-1=-8，即x=-7，

∴两个函数f（x）和g（x）共有17个交点，除（1，0）外，其他16个交点关于（1，0）对称，

设对称的两个点的横坐标分别为a，b，

则=1，即a+b=2，

∴函数f（x）=2sinπx与函数g(x)=的图象所有交点的橫坐标之和为：

8（a+b）+1=8×2+1=17．

故答案为：17．

题型：简答题

简答题

选修4-5：不等式选讲

设函数f（x）=|x-1|+|2x-3|-a．

（I）当a=2时，求不等式f（x）≥0的解集；

（II ）若f（x）≥O恒成立，求a的取值范围．

正确答案

（I）当a=2时，求不等式f（x）≥0 即|x-1|+|2x-3|≥2，

∴①，或②，或 ③．

解①得 x≤，解②得x∈∅，解③得x≥3，

故不等式的解集为{x|x≤，或x≥3}．

（II ）若f（x）≥O恒成立，则f（x）的最小值大于或等于零．

由于函数 f（x）=，显然函数在（-∞，]上是减函数，

故函数的最小值为 f（）=-a≥0，解得 a≤，

故a的取值范围为（-∞，]．

题型：填空题

填空题

若f(x)=asin(x+)+bsin(x-)(ab≠0)是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是______．（注：写出你认为正确的一组数字即可）

正确答案

ab≠0，f(x)=asin(x+)+bsin(x-)

=a(sinx+cosx)+b(sinx-cosx)

=（a+b）sinx+（a-b）cosx．

∵f（x）是偶函数，

∴只要a+b=0即可，

可以取a=1，b=-1．

题型：填空题

填空题

已知奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（）的值为______．

正确答案

由题意定义在R上的奇函数满足f（x+2）=-f（x），故有f（x+2）=-f（x）=f（x-2），故函数的周期是4

f（）=f（-0.5）=-f（0.5）

又0＜x＜1时，f（x）=2x，

∴f（）=-f（0.5）=-212=-

故答案为：-

题型：简答题

简答题

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：

①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．

②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．

利用上述结论完成下列各题：

（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．

（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．

（3）若函数f(x)=(x-)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(，f())成中心对称，求t的值．

正确答案

（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(，0)（k∈N*）． …（2分）

当k=2n（n∈N*）时，tan(+x)+tan(-x)=tanx-tanx=0；

当k=2n+1（n∈N*）时，tan(+x)+tan(-x)=-cotx+cotx=0，得证． …（6分）

（2）由f(x)==1+，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=+=+=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=的图象关于点（1，1）成中心对称． …（12分）

（3）由结论②F(x)=f(x+)-f()=x(|x++t|+|x-|)为奇函数，…（14分）

其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x++t|+|x-|为偶函数

于是，由h（x）=h（-x）可得|x++t|+|x-|=|x-(+t)|+|x+|，…（16分）

因此，+t=，解得t=为所求． …（18分）

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