- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且a1=5，数列{xn}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠
（1）证明：{logt（xn-1）+1}是等比数列；
（2）当Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{an}的前n项和为Sn，当t=
正确答案
（1）∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行，
∴2xn=
由xn+1=tf（xn+1-1）+1，得xn+1-1=t（xn-1）2，
∴logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1），
即logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]，
∴{logt（xn-1）+1}是首项为logt2+1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得logt（xn-1）+1=（logt2+1）•2n-1，
∴xn=1+
从而an=2xn-1=1+
由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立，
得an+1＜an，
即(2t)2n＜(2t)2n-1，
∴0＜2t＜1，
即0＜t＜
（3）当t=
1
2
)2n-1，
∴Sn=n+8[
1
2
)2+(
1
2
)4+…+(
1
2
)2n-1]，
当n≤3时，2n-1≤n+1；
当n≥4时，2n-1＞n+1，
∴当n≤3时，Sn≤n+8[
1
2
)2+(
1
2
)4]=n+
当n≥4时，Sn＜n+8[
1
2
)2+(
1
2
)3+(
1
2
)4+…+(
1
2
)n+1]
=n+7-(
1
2
)n-2
＜n+7．
综上所述，对任意的n∈N*，都有Sn＜n+7．
下列命题中，错误命题的序号有______．
（1）“a=-1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）已知a，b，c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件；
（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．
正确答案
（1）a=-1⇒f（x）=x2+|x+a+1|=x2+|x|（x∈R）⇒函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数
∴“a=-1”一定是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的一个充分条件，则（1）错误；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”，可以是“直线l垂直平面α内无数条互相平行的直线”此时不能判断“直线l垂直平面α”．∴“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的不充分条件，则（2）错误；
（3）已知
（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．正确．
故答案为：（1）、（2）、（3）．
（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．
（1）试判断函数g（x）=2x（x∈R），k(x)=
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围；
（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．
正确答案
（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有g（αx1+（1-α）x2）-αg（x1）-（1-α）g（x2）=2（αx1+（1-α）x2）-2αx1-2（1-α）x2=0．
即g（αx1+（1-α）x2）≤αg（x1）+（1-α）g（x2）．
∴g（x）=2x是C函数．
k(x)=
取x1=-3，x2=-1，α=
则k（αx1+（1-α）x2）-αk（x1）-（1-α）k（x2）=k(-2)-
即k（αx1+（1-α）x2）＞αk（x1）+（1-α）k（x2）．
∴k(x)=
（2）h（x）=px2是下凸函数，则对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有h（αx1+（1-α）x2）-αh（x1）-（1-α）h（x2）=p（αx1+（1-α）x2）2-pαx12-p（1-α）x22=p[-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2]=-pα（1-α）（x1-x2）2≤0．
即当p≥0时，h（αx1+（1-α）x2）≤αh（x1）+（1-α）h（x2）．
∴当p≥0时，h（x）=px2是下凸函数．
（3）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=
∵f（x）是R上的下凸函数，an=f（n），且a0=0，am=2m
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(
正确答案
（Ⅰ）①设不动点的坐标为P0（x0，y0），
由题意，得
所以映射f下不动点为P0(0， 
②结论：点Pn（xn，yn）不存在一个半径为3的收敛圆．
证明：由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1），
所以|P1P4|=
则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内，
所以点Pn（xn，yn）（n∈N*） 不存在一个半径为3的收敛圆
（Ⅱ）证明：由P1（2，3），得P2(
由Pn+1=f（Pn），得
所以xn+1+yn+1=xn+1，xn+1-yn+1=yn+1，
由Pn+2=f（Pn+1），得
所以xn+2=
即xn+2-3=
由x1-3≠0，x2-3≠0，得xn-3≠0，
同理yn-1≠0，
所以
所以数列{x2n-1-3}，{x2n-3}（n∈N*）都是公比为
所以x2n-1-3=-(
同理可得y2n-1-1=2×(
所以对任意n∈N*，|xn-3|≤1，|yn-1|≤2，
设A（3，1），则|APn|=
所以|APn|≤
故所有的点Pn（n∈N*）都在以A（3，1）为圆心，
即点Pn（xn，yn）存在一个半径为
设函数f（x）=mx2-mx-6+m
（1）若对于m∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）∵mx2-mx-6+m＜0，∴m（x2-x+1）-6＜0，
对于m∈[1，2]，f（x）＜0恒成立⇔
解得：-1＜x＜2，
∴实数x的取值范围：-1＜x＜2，
（2））∵mx2-mx-6+m＜0，，∴m（x2-x+1）-6＜0，
对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立⇔m＜
⇔m＜
由于
∴m＜2
∴实数m的取值范围：m＜2．
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