- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知f（x）是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2x，若n∈N*，an=f（n），则a2009=______．
正确答案
因为f（2+x）=f（2-x），⇒f（4+x）=f（-x），
∵f（x）是偶函数，
∴f（4+x）=f（x）．
故函数周期为4．
∴a2009=f（2009）=f（1+4×1002）=f（1）．
∵当-2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（-1）=2-1=
即 a2009=
故答案为：
f（x）是定义域为R的偶函数，其图象关于直线x=2对称，当x∈（-2，2）时，f（x）=-x2+1，则x∈（-4，-2）时f（x）的表达式为______．
正确答案
∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（-x）=f（x）
∵其图象关于直线x=2对称∴f（4-x）=f（x）
∴f（4-x）=f（-x）
∴f（x）是周期函数，且周期为4
设x∈（-4，-2），则x+2∈（-2，0）
所以f（x+2）=-（x+2）2+1
∴f（x）=-（x+2）2+1
故答案为：-（x+2）2+1
若对任意的x∈R，不等式x2+2ax-a＞0恒成立，则实数a的取值范围______．
正确答案
不等式x2+2ax-a＞0对任意实数x恒成立．
变形为x2＞a-2ax⇒x2＞a（1-2x）
①当x=
②当x＞
③当x＜
综上得：-1＜a＜0
故答案为-1＜a＜0
使得关于x的不等式ax≥x≥logax（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立的正实数a的取值范围是______．
正确答案
当a＞1，由题意可得y=ax与y=logax互为反函数，故问题等价于ax≥x（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立
构造函数f（x）=ax-x，则f′（x）=axlna-1=0，得x=loga
当0＜a＜1时，不符合条件，舍去，
故答案为a≥e1e．
已知函数f(x)=
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，解不等式f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0．
正确答案
（1）∵3x＞0
3x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）
假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（0）=0得
∴f(x)=
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2∵f(x)=a-
f（x1）-f（x2）=a-
=
=
=
∵x1＜x2，
∴3x1＜3x2
∴3x1-3x2＜0
又∵3x1+1＞0，3x2+1＞0
f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴不论a取何值，函数f（x）在其定义域上都是增函数．…（9分）
（3）由f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m2-m+1）＜-f（2m-3）
∵函数f（x）为奇函数
∴-f（2m-3）=f（3-2m）
∴f（3m2-m+1）＜f（3-2m）
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数
∴f（3m2-m+1）＜f（3-2m）⇔3m2-m+1＜3-2m
∴3m2+m-2＜0
∴（3m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜
不等式f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜
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