热门试卷

（1）由题意得：＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；

（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg=-lg=-f（x），∴函数是奇函数；

（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg+lg=lg，

f（）=lg=lg，∴f（a）+f（b）=f（）．

（1）f（x）=x3-2ax2+a2x 令f'（x）=3x2-4ax+a2=0，

得：x1=，x2=a．（2分）

1° 当a＞0 时，x1＜x2

∴所求单调增区间是(-∞，)，（a，+∞），单调减区间是（，a ）

2° 当a＜0 时，所求单调增区间是（-∞，a），(，+∞)，单调减区间是（a， ）

3° 当a=0 时，f'（x）=3x2≥0 所求单调增区间是（-∞，+∞）．（5分）

（2）f（x）=x3-（a+b）x2+abx∴f'（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

∵当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤∴-≤f′(1)≤，-≤f′(-1)≤，-≤f′(0)≤，（8分）即 得

此时，满足当x∈[-1，1]时|f′(x)|≤恒成立．

∴f(x)=x3-x．（10分）

（3）存在a，b，使得•=  0，则m•n+f（m）•f（n）=0

∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0

∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由题设，m，n是f'（x）=0的两根

∴m+n=，mn=②（12分）②代入①得：ab（a-b）2=9

∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=+4ab≥2=12，当且仅当ab=时取“=”

∴a+b≥2∵a+b≤2∴a+b=2

又∵ab=，0＜a＜b∴a=，b=．（16分）

（1 ）定义域为R关于原点对称．因为

f（x）+f（-x）=-+-=-+-=0，

所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．

（2）f'（x）=-＜0，

∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）

又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0

即（m+）（m+）＜0解之得-＜m＜-，故函数

f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥-或m≤-…（14分）

（1）⇔-1＜x＜0或0＜x＜1，

故f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）；

（2）∵f(-x)=--log2=-(-log2)=-f(x)，

∴f（x）是奇函数；

（3）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=(-)+(log2-log2=+log2

∵0＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，

（1-x1）（1+x2）=1-x1x2+（x2-x1）＞1-x1x2-（x2-x1）=（1+x1）（1-x2）＞0

∴＞1， log2＞0，＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减．

另f′(x)=-(+log2e)∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0

故f（x）在（0，1）内是减函数．