热门试卷

解（1）证：令h（x）=ex-x-1，h'（x）=ex-1，

令h'（x）＞0⇒ex-1＞0⇒x＞0时f'（x）＞0；x＜0时，f'（x）＜0．∴f（x）min=f（0）=0

∴h（x）≥h（0）=0即ex≥x+1．

（2）∵g（x）是R上的奇函数

∴g（0）=0∴g（0）=ln（e0+a）=0

∴ln（1+a）=0∴a=0故g（x）=lnex=x．

故讨论方程lnx=x•（x2-2ex+m）在x＞0的根的个数．

即=x2-2ex+m在x＞0的根的个数．（m∈R）

令u(x)=，v(x)=x2-2ex+m．

注意x＞0，方程根的个数即交点个数．

对u(x)=，(x＞0)，u′(x)==，

令u'（x）=0，得x=e，

当x＞e时，u'（x）＜0；当0＜x＜e时，u'（x）＞0．

∴u(x)极大=u(e)=，

当x→0+时，u(x)=→-∞；

当x→+∞时，u(x)==0，但此时u（x）＞0，此时以x轴为渐近线．

①当m-e2＞即m＞e2+时，方程无根；

②当m-e2=即m=e2+时，方程只有一个根．

③当m-e2＜即m＜e2+时，方程有两个根．

（3）由（1）知1+x≤ex（x∈R），

令x=， i=1，2，，n-1，

∴1-≤e-in，于是(1-)n≤(e-in)n=e-i，i=1，2，，n-1，

∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n=(1-

n-1

n

)n+(1-

n-2

n

)n+…+(1-

1

n

)n+1≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1===＜=．