- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知f（x）为R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x3），则当x∈（-∞，0]时，f（x）=______．
正确答案
设x∈（-∞，0]，则-x∈[0，+∞）
∴f（-x）=-x（1-x3）
又∵f（x）为R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x（1-x3）
故答案为：x（1-x3）
f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是______．
正确答案
由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x）
由于f（2）=0，
若x∈（0，6），则可得出f（5）=f（2）=0，
又根据f（x）为奇函数，则f（-2）=-f（2）=0，
又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，
从而f（3）=f（0）=0，在f（x+3）=f（x）中，
令x=-
又根据f（x）是定义在R上的奇函数，得出f(-
从而得到f(
故f(
从而f(
故答案为：7
已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
①求函数的单调区间；
②求函数的极大值与极小值的差；
③当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c2恒成立，求实数c的取值范围．
正确答案
①首先f′（x）=3x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=2取得极值，所以f′（2）=3•22+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0…（i）
其次，因为图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3•12+6a•1+3b=-3
即2a+b+2=0…（ii）
联解（i）、（ii）可得a=-1，b=0
所以：f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
当f′（x）＞0时，x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，0＜x＜2
∴函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）
②由①得，函数的表达式为（x）=x3-3x2+c，
因此求出函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c-4
故函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4
③f（x）＞1-4c2在x∈[1，3]时恒成立，说明函数在此区间上的最小值大于1-4c2，
求出[f（x）]min=f（2）=c-4，故c-4＞1-4c2
解得c＞1或c＜-
定义在（-1，1）上的函数f（x），对任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(
（1）判断函数f（x）在（-1，1）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）的单调性，并说明理由；
（3）若f(
正确答案
（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数． …4
（2）任取x1，x2∈（-1，1）且设x1＜x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，则|x1x2|＜0∴1-x1x2＞0∴
∴f(
∴函数在给定区间上递减． …8
（3）f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(
∴f(
∴f(
已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求λ的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值为-1．
（2）由题意[g（x）]max=g（-1）=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl＜t2+λt+1
∴（t+1）λ+t2+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1＞0（λ≤-1），
则 
∴
∴t＜-1
又t=-1时-λ-sinl＜t2+λt+1
故t的取值范围：t≤-1
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