- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）己知f（x）=x3-3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
正确答案
（1）依题意，得：f′（x）=3x2-6x+2，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即 6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
而f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+2（1+x）+2+（1-x）3-3（1-x）2+2（1-x）+2
=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f（1），
由定义（2）知：f（x）=x3-3x2+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）一般地，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（-
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）
已知函数f（x）=2x+k•2-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立，求实数k的取值范围．
正确答案
（1）∵函数f（x）=2x+k•2-x为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴2-x+k•2x=-（2x+k•2-x）
∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立
∴k=-1
（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立，
∴2x+k•2-x＞2-x成立
∴1-k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立
∵y=22x在[0，+∞）上单调递增
∴函数的最小值为1
∴1-k＜1
∴k＞0
已知函数f（x）=x2-2x-8，g（x）=2x2-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．
正确答案
由g（x）=2x2-4x-16＜0，得x2-2x-8＜0，
即（x+2）（x-4）＜0，解得-2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜4}；
（2）因为f（x）=x2-2x-8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
则x2-2x-8≥（m+2）x-m-15成立，
即x2-4x+7≥m（x-1）．
所以对一切x＞2，均有不等式
而
所以实数m的取值范围是（-∞，2]．
函数f（x）=（a-2）x2+2（a-2）x-4，a∈R
（1）若x∈R，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（2）若x∈[1，3]时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
正确答案
（1）①a=2时，条件符合． （2分）
②当a-2＜0时，由题意可得△=4（a-2）2+16（a-2）＜0，
解可得a∈（-2，2），
故a∈（-2，2]． （7分）
（2）由f（x）=（a-2）（x+1）2-4-a+2在[1，3]上是单调函数或常数函数
若x∈[1，3]时，f（x）＜0恒成立，
则
解得a∈(-∞，
（用其他方法解得结果相应给分）
若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则b=______．
正确答案
二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，
说明二次函数的对称轴为1，即-
∴a=-4．而f（x）是定义在[a，b]上的，即a、b关于x=1也是对称的，
∴
∴b=6．
故答案为6
扫码查看完整答案与解析