函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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函数奇偶性的性质及其判断
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题型：填空题

填空题

已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则满足f（m）＜f（1）的实数m的范围是______．

正确答案

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．

∴不等式f（m）＜f（1）等价为f（|m|）＜f（1），

即|m|＜1，

∴-1＜m＜1，

即实数m的取值范围是-1＜m＜1，

故答案为：-1＜m＜1．

题型：简答题

简答题

定义在区间[-π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x∈[-π，]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．

（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-π，π]的表达式；

（Ⅱ）求方程f（x）=的解；

（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[-，π]上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）x∈[-，]，A=2，=--(-)，∴T=2π，ω=1，

且f（x）=2sin（x+φ）过（-，2），

∵0＜φ＜π，∴-+φ=，φ=，

f（x）=2sin（x+），

当≤x≤π时，-≤-x≤，f（-x）=2sin（-x+）=2sin（π-x）=2sinx，

而函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f（x）=f（-x），即f（x）=2sinx，≤x≤π，

∴f（x）=；

（Ⅱ）当-≤x≤时，f（x）=2sin（x+）=，sin（x+）=，

∴x+=或，即x=-或，

当≤x≤π时，f（x）=2sinx=，sinx=，∴x=或，

∴方程f（x）=的解集是{-，，，}，

（Ⅲ）存在，假设存在，由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-，π]上恒成立，

即，

由图象可得：，解得0＜m＜2．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+a•cosπx，若f（1）=2，则实数a=______．

正确答案

因为函数f（x）是奇函数，

∴f（1）=-f（-1）=2；

∴f（-1）=-2．

∴（-1）2+a•cosπ（-1）=-2⇒1-a=-2⇒a=-3．

故答案为：-3．

题型：简答题

简答题

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：

（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）＞0；

（2）f（1）=1；

（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：

①若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值并判断函数的单调性；

②函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．

正确答案

①取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），

得f（0）≥f（0）+f（0），化简可得f（0）≤0

又由f（0）≥0，得f（0）=0

设0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，

所以f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）

故有f（x1）≤f（x2），故函数f（x）为定义在[0，1]上的增函数；

②显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足（1）g（x）＞0；（2）g（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有

g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0

故g（x）=2x-1满足条件（1）、（2）、（3），

所以g（x）=2x-1为友谊函数．

题型：填空题

填空题

已知f(x)=•lg(-x)的奇偶性是______．

正确答案

f(x)=的定义域为[-1，0）∪（0，1]

∴f(x)==

又∵f（-x）=-f（x）

∴函数f(x)=是奇函数

由-x＞0，解得x∈R

又∵f（-x）=lg（ +x）=lg（）=-lg（ -x）=-f（x）

∴函数lg（ -x）是奇函数．

∴f(x)=•lg(-x)是偶函数

故答案为：偶函数

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