- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
若不等式a（2x2+y2）≥x2+2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为______．
正确答案
由题意可得：不等式x2+2xy≤a（2x2+y2）对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x2-2xy+ay2≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（
设t=
设f（t）=（2a-1）t2-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=
②当a≠
所以由题意可得：
故答案为1．
设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）求证对任意的n∈N*，不等式ln
正确答案
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，
由f′(x)=2x-
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）由题意f′(x)=2x+
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则
解之得0＜b＜
（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）
则h′(x)=3x2-2x+
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x=
则有ln(
判断函数f（x）=x2+|x|，x∈（k，1）的奇偶性．
正确答案
f（x）的定义域为（k，1），不一定关于原点对称，
当k=-1时，定义域关于原点对称．
由函数奇偶性的定义，
f（-x）=（-x）2+|-x|=f（x），
故为偶函数．
当k≠-1时，定义域不关于原点对称，不存在奇偶性．
故：k=-1时，函数f（x）为偶函数；
k≠-1时，函数f（x）不存在奇偶性．
设函数f(x)=sin(
正确答案
∵f(x)=sin(
∴f′(x)=
则函数f（x）+f′（x）为
y=sin(
∵函数f（x）+f′（x）是奇函数，∴2sin(ϑ+
解得θ+
∴θ=
故答案为
已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+1．设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-28）=______．
正确答案
∵函数y=f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x），
设x＜0，则-x＞0，
所以：f（-x）=（-x）3+1=-f（x）
∴f（x）=x3-1．
令x3-1=28，得：x=-3．
即；f（-3）=-28．
∵f（x）的反函数是y=g（x），
∴g（-28）=-3．
故答案为：-3．
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