· 函数的基本性质

· 函数奇偶性的性质及其判断

函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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题型：填空题

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填空题

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2

（I）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜

∴f（x）的单调递减区间为(0，)

令f′（x）＞0解得x＞

∴f（x）的单调递增区间为(，+∞)；

（Ⅱ）当0＜t＜t+2＜时，t无解

当0＜t≤＜t+2，即0＜t≤时，

∴f(x)min=f()=-；

当＜t＜t+2，即t＞时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，

∴f（x）min=f（t）=tlnt

∴f(x)min=；

（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax-1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1

∵x∈（0，+∞）

∴a≥lnx-x-

设h(x)=lnx-x-，则h′(x)=-+=-

令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍）

当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2

∴a≥-2

故实数a的取值范围[-2，+∞）

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=lg(5x++m)的值域为R，则m的取值范围是______．

正确答案

若使得f(x)=lg(5x++m)的值域为R，

则g（x）=5x++m能取到所有的正数

∴g（x）min≤0

∵g（x）=5x++m≥2+m=6+m

∴m+6≤0

∴m≤-6

故答案为：m≤-6

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题型：简答题

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简答题

已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）=2x+x，则当x≤0时f（x）的表达式为______．

正确答案

设x＜0，则-x＞0，

∴f（-x）=2-x-x，

∵f（x）为定义在R上的奇函数

∴f（x）=-f（-x）=-2-x+x

∵f（-0）=f（0）

∴f（0）=0

故答案为：f(x)=

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2

（I）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜

∴f（x）的单调递减区间为(0，)

令f′（x）＞0解得x＞

∴f（x）的单调递增区间为(，+∞)；

（Ⅱ）当0＜t＜t+2＜时，t无解

当0＜t≤＜t+2，即0＜t≤时，

∴f(x)min=f()=-；

当＜t＜t+2，即t＞时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，

∴f（x）min=f（t）=tlnt

∴f(x)min=；

（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax-1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1

∵x∈（0，+∞）

∴a≥lnx-x-

设h(x)=lnx-x-，则h′(x)=-+=-

令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍）

当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2

∴a≥-2

故实数a的取值范围[-2，+∞）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=mx2+（n+2）x-1是定义在[m，m2-6]上的偶函数，求：①m，n的值 ②函数f（x）的值域 ③求函数f（x-1）的表达式．

正确答案

①∵函数f（x）=mx2+（n+2）x-1是定义在[m，m2-6]上的偶函数

∴f（-x）=f（x）

∴m（-x）2-（n+2）x-1=mx2+（n+2）x-1

∴n+2=0

又∵m+m2-6=0

解得：m=-3，n=-2

②由①知函数f（x）=-3x2-1

由二次函数知：其值域为[-28，-1]

③将x-1代换f（x）中的x

得f（x-1）=-3x2+6x-4，x∈[-2，-4]

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