热门试卷

（1）∵函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），

∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；

再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；

（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）

故f（x）是偶函数；

（3）∵f（x）+f（x-）=f[x（x-）]≤0，偶函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0，

∴|x（x-）|≤1，

∴-1≤x（x-）≤1，

∴，①的解集为R，

解②得≤x≤，又x≠0．

∴x的取值范围为：[，0）∪（0，]．

（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=-2x+=-（x＞0）

由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．

∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．

∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．

（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1-．

（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，

又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，

∴x=1是函数g（x）的极值点，

∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．

（ⅱ）∵f（）=--2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，

∵-9+2ln3＜--2＜=1，即f（3）＜f（）＜f（1），

∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=-9+2ln3，f（x1）max=f（1）=-1

由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1-．

当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．

故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．

∵g()=e+，g（1）=2，g（3）=，

而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）

∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=

①当k-1＞0，即k＞1时，

对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）-g（x2）]max+1

∵f（x1）-g（x2）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，

∴k≥-2，又∵k＞1，∴k＞1．

②当k-1＜0，即k＜1时，

对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）-g（x2）]min+1

∵f（x1）-g（x2）≥f（3）-g（3）=-+2ln3，

∴k≤-+2ln3．

又∵k＜1，∴k≤-+2ln3．

综上，所求的实数k的取值范围为（-∞，-+2ln3]∪（1，+∞）．